Mathématiques,  Bac G, Nouvelle Calédonie 2025. jour 2.

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Exercice 1. 4 points.
On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1.

. 1. On considère le triangle HAC.
Affirmation 1 : Le triangle HAC est un triangle rectangle. Faux.
HA =AC : diagonale du carré de côté 1 = 2½ côté.
HA2 =AC2= HC2=2. Ce triangle est équilatéral : tous les angles mesurent 60 °.
HA2 diffère de AC2+ HC2. Ce triangle n'est pas rectangle.

 2. On considère les droites (HF) et (DI). Vrai.
Affirmation 2 : Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.
Les droites (DH) et (BF), arêtes opposées du cube sont parallèles et donc coplanaires. (BF) est donc une droite du plan (DHF).
Les droites (BD) et (HF) sont parallèles et les points B et I sont distincts. Selon l'axiome d'Euclide, les droites (DI) et (HF) ne sont pas parallèles. Or si deux droites sont coplanaires, elles sont soit parallèles soit sécantes. Donc (DI) et (HF) sont sécantes.

3. On considère un réel a appartenant à l’intervalle ]0 ; p[. Faux.
Affirmation 3 : Le vecteur u est un vecteur normal au plan (FAC).


4. Le cube ABCDEFGH possède 8 sommets. On s’intéresse au nombre N de segments que l’on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube.
Affirmation 4 : N = 8 2 / 2. Faux.
Un segment est formé en joignant deux sommets distincts parmi les 8 sommets. L'ordre n'a pas d'importance.
la combinaison (8 2) vaut : 8! / (2!(8-2)!)=8 x7 / (2 x1)=28.

Exercice 2. 6 points.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a représenté :
- la droite d’équation y = x ;
- la droite d’équation y = 1;
- la droite d’équation x = 1;
- la parabole d’équation y = x 2 .
 On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.

Partie A Démontrer les résultats suivants :
Aire zone 1 : 0,5 : aire zone 2 : 1/3 ; aire zone 3 :1 /6.
Zone1 : moitié de l'aire du carré de côté 1 ; donc 0,5.
Zone 2 : f(x) = x2 ; primitive F(x) = x3 /3.
Aire de la zone 2 : F(1)-F(0) = 1 / 3.
Aire zone 3 : 1-0,5-1 /3 = (6-3-2) / 6 = 1 /6.

Partie B : un premier jeu.
 Un joueur lance une fléchette sur le carré ci-dessus. On admet que la probabilité qu’elle tombe sur une zone est égale à l’aire de cette zone. Ainsi, la probabilité que la fléchette tombe sur la zone 3 est égale à 1/ 6 .
- Si la fléchette tombe sur la ZONE 3, alors le joueur lance une pièce équilibrée. Si la pièce tombe sur PILE, alors le joueur gagne, sinon il perd.
- Si la fléchette tombe sur une autre zone que la ZONE 3, alors le joueur lance un dé équilibré à six faces. Si le dé tombe sur la FACE 6, alors le joueur gagne, sinon il perd.
 On note les évènements suivants : T : « la fléchette tombe sur la ZONE 3 »;
G : « le joueur gagne ».
 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité de l’évènement G est égale à 2 / 9 .
Formule des probabilités totales : 1 /12 +5 /36 =8 /36 = 2 /9.
3. On sait que le joueur a gagné. Quelle est la probabilité que la fléchette soit tombée sur la ZONE 3 ?
PG(T) =P(G n T) / P(G) = 1 /12 / (2 /9) =9 /24 = 3 / 8.

Partie C : un second jeu.
 Un joueur, appelé joueur n° 1, lance une fléchette sur le carré précédent. Comme dans la partie B, on admet que la probabilité que la fléchette tombe sur chacune des zones est égale à l’aire de cette zone. Le joueur gagne une somme égale, en euros, au numéro de la zone. Par exemple, si la fléchette tombe sur la ZONE 3, le joueur gagne 3 euros.
 On note X1 la variable aléatoire donnant le gain du joueur n° 1. On note respectivement E(X1) et V (X1) l’espérance et la variance de la variable aléatoire X1.
1. a. Calculer E(X1).
Loi de probabilité de X1 :
xi
 1
 2
 3
P(X1=xi)
 1 /2
 1 /3
 1 /6
E(X1) = 1 *1 /2 + 2 *1 /3 +3 *1 /6 =1 /2 +2 /3 +3 /6 = (3+4+3) /6 =10 /6 = 5 /3.
b. Montrer que V (X1) = 5 /9 .On utilise la formule de König :
V(X1) =E(X21)-[E(X1)]2 =12 x1 /2 +22 x1 /3 +32 x1 /6 - (5/3)2 =1 /2 +4 /3 +9 /6-25 /9 =(9 +6*4+3*9-25*2) / 18=10 /18=5 /9.

 2. Un joueur n° 2 et un joueur n° 3 jouent à leur tour, dans les mêmes conditions que le joueur n° 1. On admet que les parties de ces trois joueurs sont indépendantes les unes des autres. On note X2 et X3 les variables aléatoires donnant les gains des joueurs n° 2 et n°3. On note Y la variable aléatoire définie par Y = X1 + X2 + X3.
a. Déterminer la probabilité que l’on ait Y = 9.
{Y=9} correspond à {X1=3} n {X2=3} n  {X3=3} .
P(Y=9)=1 /6 x 1 /6 x1 /6 = 1 /216.
 b. Calculer E(Y ).
La linéarité de l'espérance conduit à :
E(Y) = E(X1) + E(X2) +E(X3) =5 /3 +5 /3 +5/3 = 15 /3 = 5.
 c. Justifier que V (Y ) = 5/ 3 .
Les variables étant indépendantes, on utilise l'additivité de la variance :
V(Y) = V(X1)+V(X2)+V(X3)=5 /9 +5 /9 +5/9 = 15 /9 = 5 /3.

... =  =
....
Exercice 3. 5 points.
On considère la fonction f définie pour tout réel x par : f (x) = ln( exp(0,5 x) +2 ) On admet que la fonction f est dérivable sur R. On considère la suite (un) définie par u0 = ln(9) et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un)
1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur R.
On pose u = exp(0,5x)+2 ; u' = 0,5 exp(0,5x)
f '(x) =u ' / u= 0,5 exp(0,5x) / ln(exp(0,5x)+2).
exp(0,5x ) >0 et ln(exp(0,5x)+2) >0 : f '(x) >0 ; f(x) est strictement croissante sur R.
2. Montrer que f (2ln(2)) = 2ln(2).
exp(0,5*2ln(2) =exp(ln(2)=2.
ln( exp(0,5 x) +2 )=ln(2+2) = ln(4) = ln(22) = 2 ln(2).

 3. Montrer que u1 = ln(5).
u1 = ln(exp(0,5 u0)+2)=ln(exp(0,5 ln(9))+2)=ln(exp(ln(90,5)+2)=ln(exp(ln(3))+2) =ln(3+2)=ln(5).

4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 2ln(2) < un+1 < un.
Initialisation : 2 ln(2)  = ln(4)<ln(5) <ln(9), la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n
2ln(2) < un+1 < un.
f(x) étant strictement crpoissante sur R :
f(2ln(2)) < f(un+1 ) < f( un).
2 ln(2) < un+2 < un+1.
La propriété est vraie au rang n+1
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

 5. En déduire que la suite (un) converge.
La suite est strictement décroisante et minorée : donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.
6. a. Résoudre dans R l’équation X 2 − X −2 = 0.
Discriminant : (-1)2 -4x(-2) =9 = 32.
X1 = (1-3) / 2 =-1 ; X2=(1+3) / 2 =2.
b. En déduire l’ensemble des solutions sur R de l’équation : e x −e0,5x −2 = 0
X = e0,5 x >0 ; 2 = e0,5x ;ln(2) = 0,5x ; x = 2 ln(2).
 c. En déduire l’ensemble des solutions sur R de l’équation f (x) = x.
ln( exp(0,5 x) +2 ) = x.
exp(0,5x)+2 = exp(x).
exp(x) -exp(0,5x) -2 =0.
Solution de cette équation x = 2 ln(2).
d. Déterminer la limite l de la suite (un).
l vérifie f(l) = l.
l = 2 ln(2) d'après la question précédente.

Exercice 4. 5 points.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln(x) / x 2 +1. On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.
1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe Cf .
En 0+ : ln(x) tend vers -oo ; ln(x) / x2 tend vers -oo ; f(x) tend vers -oo.
La droite d'équation x =0 est asymptote.
En +oo :ln(x) et x2 tendent vers +oo.
Par croissance comparée ln(x) / x2 tend vers 0.
f(x) tend vers 1.
La droite d'équation y = 1 est asymptote.
2. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, on a : f ′ (x) = (1−2ln(x)) / x 3 .
On pose u = ln(x) et v = x2.
u' = 1 /x ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =(x-2x ln(x)) / x4 =(1-2ln(x) / x3.

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
f '(x) = 0 si ln(x) =0,5 ; x = e0,5.
Si x < e0,5,  f '(x) >0 et f(x) est strictement croissante .
Si x > e0,5,  f '(x) <0 et f(x) est strictement décroissante .

4. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une unique solution, notée a, sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Sur l'intervalle ]0 ; e0,5], f est continue et strictement croissante de -oo à 0,5 /e+1 > 1. D'après le corollaire  du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) =0 admet une solution unique a.
Sur l'intervalle ] e0,5, +oo[, f est continue et strictement décroissante de  0,5 /e+1 à 1. L'équation f(x) =0 n'admet aucune solution.
 b. Donner un encadrement du réel a d’amplitude 0,01.
La calculatrice donne : 0,65 < a < 0,66.
c. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
f(a) =0.
f(x) <0 sur ]0 ; a[ et f(x) >0 sur ]a ; +oo[

5. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g(x) = ln(x).  On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé d’origine O. On considère un réel x strictement positif et le point M de la courbe Cg d’abscisse x. On note OM la distance entre les points O et M
. a. Exprimer la quantité OM2 en fonction du réel x.
On note H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses.
OM2 =OH2+HM2= x2 +(ln(x))2.
b. Montrer que, lorsque le réel x parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[, la quantité OM2 admet un minimum en a.
Soit la fonction h(x) = x2 +(ln(x))2.
h(x) est dérivable car somme de fonctions dérivables :
h '(x) = 2x +2 ln(x) / x= 2x(1+ ln(x) / x2) = 2x f(x).
Sur ]0 ; +∞[ h'(x) possède le signe de f(x).
h'(x) <0 sur ]0 ; a[ et positive sur [a ; +oo[.
h admet un minimum en x = a.
OM2 admet un minimum en x=a.

c. La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel x parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[, est appelée distance du point O à la courbe Cg . On note d cette distance. Exprimer d à l’aide de a.
Pour x = a : OM2 = a2 +(ln(a))2.
f(a) = 0 ; ln(a) / a 2 +1=0.
ln(a) = -a2 ; (ln(a) )2= a4 ;
OM2 = a2 +a4=a2 (1+a2)
d étant la valeur minimale de POM : d =a(1+a2)0,5.





  
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