L'astéroïde 2024 PT5, bac Antilles 2026

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L’objectif de cet exercice est d’expliquer pourquoi l’astéroïde 2024 PT5 n’a pas été « capturé par la gravité » de la Terre, puis de justifier l’affirmation selon laquelle on ne pouvait pas le distinguer à l’oeil nu.
1. Mouvement autour de la Terre
Dans cette partie, on étudie l’action gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune, puis sur l’astéroïde 2024 PT5.
On s’intéresse au mouvement du centre de masse L de la Lune dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet  comme indiqué sur la figure. Le mouvement du centre de masse L est supposé circulaire uniforme.
Données
- valeurs des masses de quelques astres :
- masse de la Terre : M = 5,972×10 24 kg ,
- masse du Soleil : 𝑀S = 1,989×10 30 kg ,
- masse de la Lune : mL = 7,360×10 22 kg ;
- valeur moyenne de la distance Terre-Soleil : dT/S = 1,496×10 8 km ;
- constante universelle de gravitation : 𝐺 = 6,67×10−11 m3·kg−1·s−2 ;
- définition de l’unité astronomique (au) : 1 au = 1,496×108 km.
La distance du centre de la Terre au centre de la Lune est notée r.
Q1. Donner l’expression vectorielle de la force FT/L exercée par la Terre sur la Lune.


Q2. En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l’expression de la vitesse v de la Lune est donnée par la relation :
v =(GM / r)½.

avec r = R+h.

Q3. Déterminer l’expression de la période de révolution T de la Lune autour de la Terre, en fonction de la distance r puis vérifier que l’on peut retrouver l'expression de la troisième loi de Kepler .
 La lune décrit la circonférence 2 p r à la vitesse v pendant la durée T.
2 p r = vT.
4 p2 r2 = v2 T2.
 Remplacer v2 par MG / r : 4 p2 r2 = MG / r T2.
4 p2 r3 = MG  T2.
 𝑇 2 = 4 p2 r3 / (GM).
La valeur de la période de révolution de la Lune autour de la Terre est de 27,3 jours.
Q4. Calculer la valeur de la distance Terre-Lune r =dT/L.
r3 = 𝑇 2 GM /( 4 p2 )=(27,3 x24x3600)2 x 6,67 10-11 x5,972 1024 /(4 *3,142)=5,6 1025.
r =3,8 108 m= 3,8 105 km.

La sphère de Hill de la Terre désigne la région entourant la Terre, à l’intérieur de laquelle l’influence gravitationnelle de la Terre domine celle du Soleil. Dit autrement,
la sphère de Hill correspond à la limite, à partir de laquelle l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet est approximativement égale à celle exercée par le
Soleil.
On peut déterminer le rayon de la sphère de Hill de la Terre, exprimé en km, à partir de la relation suivante :
rHill = dT/S (MT / (3 MS))1/3.
avec :
- 𝑀S : masse du Soleil en kg ;
- 𝑀T : masse de la Terre en kg ;
- 𝑑T/S : distance Terre-Soleil en km.
Q5. Calculer la valeur du rayon de la sphère de Hill de la Terre.
rHill =1,496 108(5,972 1024 / (3 *1,989 1030))1/3=1,5 106 km, valeur supérieur à la distance terre lune.
Q6. Indiquer si la Lune se situe dans la sphère de Hill de la Terre.
La lune se trouve dans la sphère de Hill de la terre.
Q7. À l’aide de la figure suivante et des réponses précédentes, donner un argument permettant d’expliquer la phrase de l’article « l’astéroïde est venu orbiter autour de la
Terre entre novembre et janvier, sans jamais être capturé par sa gravité ».
1 au = 1,496×108 km.
 rHill =1,5 106 km ou 1,5 106  / (1,496×108 ) =~0,01 au.

Entre novembre et janvier, l'astéroïde se situe en dehors du rayon de Hill de la terre.

Observation de l'astéroïde à l'oeil nu.
La taille de l’astéroïde est estimée à 𝑑 = 11 m. Le 9 août 2024, il est passé au plus près de la Terre, à une distance dA/T = 5,67 × 105 km.
Données :
- un objet AB est vu sous un angle q par l’oeil . Le pouvoir séparateur de l’oeil humain, noté e, est la valeur minimale de l’angle q sous lequel les deux
points A et B peuvent être vus séparément.
L’objet AB peut donc être vu distinctement par l’oeil si q > e ; e = 3 10-4 rad.
Q8. Montrer que la valeur de l’angle q est égale à 1,9 × 10−8 rad lorsque l’observateur cherche à observer à l’oeil nu deux points diamétralement opposés de l’astéroïde situé
à la distance d.
q =d / dA/T=11 / (5,65 108)= 1,9 10-8 rad.
Q9. En ne tenant compte que du pouvoir séparateur de l’oeil, commenter la phrase de
l’article : « Une deuxième lune temporaire qu’on ne pourra malheureusement pas distinguer à l’oeil nu ».
cette valeur 1,9 10-8 rad.étant inférieure à e, l'observation à l'oeil nu est impossible.
 Observation de l’astéroïde avec une lunette astronomique.
Pour mieux discerner des objets distants, l’une des méthodes possibles est d’utiliser une lunette astronomique.
Le grossissement de la lunette, noté G, correspond au rapport entre l’angle q′ sous lequel est vu l’objet à travers la lunette et l’angle q :
G = q' / q..
Le critère pour pouvoir distinguer deux points d’un objet éloigné au travers de la lunette devient alors q′ > e, avec 𝜀 le pouvoir séparateur de l’oeil.
Dans cette partie, on s’appuie sur le schéma suivant.
On note F1, F '1′, F2, et F''2 , respectivement les foyers objet et image des lentilles L1 et L2 ainsi que f '1, et f '2′, les distances focales de ces lentilles.
La « Grande Lunette » de Meudon est encore aujourd’hui la plus grande lunette astronomique d’Europe. Elle est constituée de deux lentilles minces convergentes :
- une lentille L1 de distance focale f '1  = 16 m ;
- une lentille L2 de distance focale f '2  = 4 cm.
Q10. Sur le schéma , tracer la marche des deux rayons lumineux issus du point B, situé à l’infini, au travers de la lunette.
Faire apparaitre l’image intermédiaire A1B1.


Q11. Montrer que le grossissement de la lunette astronomique s’exprime par la relation :
G =f '1 / f ' 2.
tan a' ~ a' =A1B1 / f '2.
tan a ~ a =A1B1 / f '1.
G = a' / a = f '1 / f ' 2 = 16 / 0,04 =400.
Q12. Déterminer si la « Grande Lunette » de Meudon permet de distinguer deux points diamétralement opposés de l’astéroïde 2024 PT5.
a' =400 x1,9 10-8 =7,6 10-6 rad.
Cette valeur est inférieure au pouvoir séparateur de l'oeil, l'observation sera impossible.


  
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