La yaourtière, bac métropole 2026
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Les
objectifs de cet exercice sont d’étudier quelques aspects de la
fabrication d’un yaourt maison, d’estimer son coût puis de modéliser
l’étape finale de refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur.
1. Fabrication des yaourts
dans la yaourtière
Certains ferments lactiques utilisés pour la fabrication des yaourts
maison contiennent des bactéries alimentaires qui présentent un optimum de croissance à la température
de 43 °C.
La yaourtière utilisée permet la préparation de 7 yaourts. On utilise
la recette suivante :
- verser 700 mL de lait à la température ambiante dans un récipient ;
- ajouter un sachet de 2 g de ferments lactiques puis mélanger ;
- répartir la préparation dans les 7 pots en verre de la yaourtière et
les fermer à l’aide d’un couvercle ;
- phase de chauffage : mettre les 7 pots dans la yaourtière, fermer la
yaourtière, la démarrer et la faire fonctionner pendant 8 heures ;
- phase de refroidissement : laisser refroidir les pots puis les mettre
au réfrigérateur pendant 2 heures.
Afin d’effectuer des bilans d’énergie, on définit le système étudié,
noté {S}, constitué de la yaourtière contenant les 7 pots en verre fermés et remplis. On admet que tous les
composants du système {S} sont à la même température.
Lors de la phase de chauffage de 8 heures, il est possible de
distinguer deux étapes :
- étape A : chauffage du système {S} de la température ambiante à la
température de 43 °C pendant une durée DtA ;
- étape B : maintien en continu du système {S} à la température de 43
°C pendant une durée DtB.
Données :
- conversion d’une énergie en wattheure (Wh) en une énergie en joule
(J) : 1 kWh = 3 600 kJ ;
- puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant
l’étape A : PA = 150 W ;
- puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l’étape B : PB = 20 W ;
- estimation de la capacité thermique du système {S} : C = 4,0×103 J·K–1 ;
- température de fabrication d’un yaourt : qfab = 43 °C ;
- température de l’air ambiant : qamb = 20 °C.
Q1. Montrer que la valeur de l’énergie thermique Qchauffage qui doit être transférée au système {S} lors de l’étape A est voisine de 9,2×104 J.
C(qfab -qamb)=4,0 103 (43-20)=9,2×104 J.
Q2. Calculer la durée DtA
de l’étape A, en supposant que, pendant cette étape, 85 % de l’énergie
électrique consommée par la yaourtière est fournie par transfert
thermique au système {S}. En déduire que la durée DtB de l’étape B est de l’ordre de 7 heures et 50 minutes.
DtA = Qchauffage /(0,85PA)=9,2 104 / (0,85 *150 )=7,2 102 s ou 0,20 heure.
DtB = 8 -0,2 = 7,8 h ou 7 h 48 ~7 h 50 min.
Un des arguments souvent avancés qui encouragent à faire ses yaourts
soi-même est le prix : à qualité égale, ils coûteraient moins cher que
ceux achetés directement dans la grande distribution.
On donne des coûts approximatifs ci-dessous :
1 kWh électrique
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1 L de lait
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2 g de ferment lactique
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1 pot de yaourt nature grande distribution et de qualié comparable
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0,20 €
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1,05 €
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0,64 €
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0,35 €
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Energie électrique :( 150 +20)= 170 W = 0,17 kW soit 0,17x0,20 =0,034 €
lait : 0,7 * 1,05 =0,735 €.
ferment : 0,64 €.
Total : 1,409 € pour 7 yaourts.
1,409 / 7 = 0,20 €.
L'économie est de 0,15 € par yaourt. L'argument est vérifié.
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2. Refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur
Dans cette partie, on étudie le refroidissement d’un seul pot de yaourt.
Après avoir passé 8 h dans la yaourtière, le pot de yaourt, avec son
couvercle, est d’abord refroidi à l’air jusqu’à atteindre la
température de 30 °C. On étudie dans cette partie la seconde phase de
refroidissement à partir de l’instant initial où le pot de yaourt est
placé dans le réfrigérateur.
Le système d’étude est noté {P} ; il comprend le pot en verre, le couvercle et le yaourt qu’il contient.
On admet que tous ses composants sont à la même température.
Données :
- loi de Newton donnant l’expression du flux thermique F, en watt, cédé par le système {P} de température q, en contact avec l’air intérieur du réfrigérateur de température qréfri :
F = h · S · (q – qréfr)
avec : • h, coefficient de transfert thermique surfacique : h = 10 W·m–2·K–1 ;
• S, surface d’échange entre l’air de l’intérieur du réfrigérateur et le système {P} :
S = 0,019 m².
- masse du système {P} : m = 0,19 kg ;
- température, considérée constante, de l’intérieur du réfrigérateur : qréfr = 4,0 °C ;
- température initiale du système {P} : q0 = 30 °C ;
- capacité thermique massique du système {P} : C = 2,5×103 J·kg–1·K–1.
Q4. Nommer les trois modes de transfert thermique permettant le refroidissement du système {P}.
Conduction, rayonnement et convection.
Q5. Calculer la valeur du flux thermique initial F0
cédé par le système {P} à l’instant initial t = 0 et indiquer, en
justifiant, comment varie le flux thermique au cours du temps.
F0 = 10 x 0,019 (30-4)=4,94 ~4,9 W.
La température du système placé dans le réfrigérateur diminue au cours du temps. Il en est de même du flux thermique.
Q6. Indiquer la
température du système {P} après un temps très long. Montrer que la
valeur de l’énergie thermique perdue par le système {P} durant la phase
de refroidissement est voisine de 12 kJ.
Au bout d'un temps très long, la température du système est celle du réfrigérateur soit 4 °C.
Energie perdue par le système : m C ( 30-4) = 0,19 x 2,5 103(30-4)=12 350 J ~12 kJ.
Q7. Calculer la durée Dt0 qui serait nécessaire pour effectuer un transfert thermique de 12 kJ à la puissance F0.
Dt0 = 12 000 / F0 =12 000 / 4,9 =2449 s ou 0,68 h.
En tenant compte de la variation du flux thermique au cours du temps,
on montre que l’évolution de la température du système {P} peut être
modélisée par la fonction :
d(t) = (q0 − qréfri) exp(– t / t)+ qréfri.
t =m CY / (hS).
Q8. Tracer l’allure
de l’évolution de la température θ en fonction du temps en indiquant
les températures initiale et finale ; faire apparaître une méthode
graphique de détermination du temps caractéristique t.
Q9. Comparer la valeur de t à celle de Dt0 obtenue en Q7. Commenter.
t ~2,7 103 s ; Dt0 =2,5 103 s. Ces deux valeurs sont comparables.
Comparer ces deux valeurs a peu de signification.
C'est au bout de 5 t que le système atteint son équilibre thermique.
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