Le satellite TESS, bac métropole 2026

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L’objectif de cet exercice est d’étudier le système planétaire « TOI 270 » pour lequel on supposera que les mouvements des exoplanètes 1 et 2 autour de l’étoile E sont circulaires uniformes.
L’interaction entre les deux exoplanètes est négligée.
Objet
 Etoile E
 exoplanète 1
 exoplanète 2
Rayon de l'orbite au tour de E (km)
R1 = 6,77 106
 R2 = 1,08 107
Période de révolution autour de E en jour terrestre
T1
 T2 = 11,4
Rayon de l'objet (km)
 rE = 2,63 105
 r1
Masse de l'objet ( kg)
 ME = 7,68 1029
M2
1. Étude du système « TOI 270 »
On étudie le mouvement de l’exoplanète 2, de masse M2, en orbite circulaire autour de l’étoile E.
L’étude est conduite dans un référentiel dont l’origine est prise au centre de l’étoile E et dont les
axes pointent vers des étoiles lointaines ; il est supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet.
Q1. Exprimer la force d’attraction gravitationnelle, notée F, exercée par l’étoile E sur l’exoplanète 2,

Q2. En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l’expression de la vitesse v2 de l’exoplanète 2 en fonction de G, ME et R2.

Q3. Établir que la masse ME de l’étoile est donnée par la relation ME = 4p 2·R23 / (G·T22) .
L'exoplanète décrit la circonférence 2 pR2 à la vitesse v2 pendant la durée T2.
2 pR2 =v2 T2.
4p 2·R22 =v22T22=GME /R2T22.
ME = 4p 2·R23 / (G·T22) .
Q4. Vérifier que la valeur de la masse ME déduite de cette relation est voisine de celle indiquée dans le tableau de données.
ME = 4 *3,142 *(1,08 1010)3 /(6,67 10-11 x(11,4 x(24*3600)2)=7,69 1029 kg.
Q5. En utilisant la troisième loi de Kepler et les données R1, R2 et T2 relatives aux exoplanètes, déterminer la valeur de la période T1 exprimée en jours terrestres.
T12 / R13 = T22 / R23  .
T12 = T22 (R1/ R2)3 =11,42 (6,77 / 10,8)3 =32,0 ; T1 = 5,67 jours.

2. Mesure expérimentale de la période de révolution T1 de l’exoplanète 1.
Le satellite TESS utilise une caméra pour détecter des exoplanètes. Lorsqu’une exoplanète passe entre l’étoile et la caméra, la puissance lumineuse reçue par la caméra diminue. Ce phénomène est appelé transit planétaire et indique la présence d’une exoplanète en orbite autour de l’étoile pointée par la caméra.
On se propose de déterminer la valeur de la période T1 de révolution de l’exoplanète 1 autour de l’étoile E en exploitant les relevés envoyés par le satellite TESS. Lors du transit de l’exoplanète 1 devant l’étoile E (schématisé sur la figure ), on mesure la puissance lumineuse relative* Plum reçue par la caméra en fonction du temps . L’origine des dates (t = 0) est prise au milieu du transit.
* La puissance lumineuse relative est définie comme le rapport de la puissance lumineuse reçue par la caméra à un instant donné sur la valeur moyenne de cette puissance. C’est une grandeur sans dimension.

On admet que le rayon r1 de l’exoplanète 1, le rayon rE de l’étoile E et la diminution DPlum de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra pendant le transit de l’exoplanète 1 vérifient la relation suivante :
DPlum= (r1/rE)2.
Q6. Indiquer qualitativement l’influence de la taille de l’exoplanète sur la diminution DPlum de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra au cours d’un transit.
Plus le rayon de l'exoplanète est grand, plus DPlum est important.
Q7. Vérifier que le rayon r1 de l’exoplanète 1 vaut environ 1,7×104 km.
DPlum = 1-0,996 = 0,004.
(r1/rE)2=0,004 ; r1/rE =6,32 10-2.
r1 = 6,32 10-2 x2,63 105 ~1,7×104 km.
Q8. En utilisant les figures  et sachant que l’angle a est très petit devant 1 rad, estimer la valeur de la période T1 de révolution de l’exoplanète 1 que l’on peut déduire des observations.
Commenter.


L'angle a est balayé en 0,8 heure.
sin a ~a =(r1+rE )/ R1 .
L'exoplanète balaye un angle égal à 2p lors d'une rotation complète.
0,8 h
 a =(r1+rE )/ R1 .
T1
 2p
T1 = 0,8 x2p R1 / (r1+rE ) = 0,8 *2*3,14 *6,77 106 /((1,7 104 +2,63 105)=120 h ou 5,1 jours.
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