Mathématiques BTS C1 2026.

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Exercice 1. 10 points.
Une entreprise produit de l’aluminium selon le procédé Hall-Héroult. L’aluminium se forme par électrolyse à une température de 960 °C. Il est ensuite transféré dans un four d’affinage où il refroidit à 750 °C avant d’être coulé dans des moules parallélépipédiques de dimensions 10 cm × 10 cm × 100 cm pour fabriquer des lingots d’aluminium.
Les lingots d’aluminium refroidissent alors dans une pièce ventilée à température ambiante de 25 °C. Ils peuvent être démoulés quand leur température atteint 250 °C. On désigne par T (t), la température, exprimée en degré Celsius ( °C), de l’aluminium à l’instant t, exprimé en minute, à partir du moment où l’aluminium est coulé dans les moules. T ′ (t) représente la vitesse de refroidissement à l’instant t. La loi de Newton établit que cette vitesse est proportionnelle à la différence entre la température du lingot d’aluminium et la température ambiante, soit : T ′ (t) = k(T (t)−T_amb) où k est une constante et T_amb la température ambiante de la pièce, exprimée en degré Celsius.

Partie A
1. Dans la situation considérée, on admet que k = −0,05. Montrer que la fonction T est solution de l’équation différentielle suivante :
(E) : y ′ +0,05y = 1,25
où y désigne une fonction de la variable t définie et dérivable sur [ 0 ; +∞[ et y ′ la fonction dérivée de y.
T ′ (t) = k(T (t)−T_amb) ; T ′ (t) = -0,05(T (t)−25) ;
T'(t) +0,05 T(t) =1,25.
2. a. Résoudre dans [ 0;+∞[ l’équation différentielle (E₀) : y ′ +0,05y = 0.
y = A exp(-0,05t) avec A une constante réelle.
b. Vérifier que la fonction g définie sur [ 0 ; +∞[ par g(t) = 25 est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
g'(t) = 0 ; repport dans (E) :
0+0,05 x25=1,25 est vérifié.
c. Déduire de ce qui précède les solutions de l’équation différentielle (E).
y = A exp(-0,05t) +25.
d. Au temps t = 0, l’aluminium est coulé dans le moule. On rappelle que la température de l’aluminium est alors de 750 °C. En déduire une expression de la fonction T en fonction de t.
T(0) = 750 = A e⁰+25 ; A = 725.
T(t) = 725 exp(-0,05t) +25.

Partie B
Dans cette partie, on admet que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[ , T (t) = 725 e^−0,05t +25 La courbe représentative de la fonction T , dans un repère orthogonal, est tracée ci-dessous.
1. Avec la précision permise par le graphique :
a. Déterminer la température de l’aluminium au bout de 10 minutes.
b. Au bout de combien de temps la température de l’aluminium atteint-elle 200 °C ?

2. Calculer la limite de T quand t tend vers +∞.
Le terme en exponentielle tend vers zéro ; T tend vers 25°C.
3. On admet que la fonction T est dérivable sur [ 0 ; +∞[ . Montrer que pour tout t appartenant à [ 0 ; +∞[ ,
T ′ (t) = −36,25 e^−0,05t .
T '(t) = -0,05 *725 e^−0,05t = −36,25 e^−0,05t .
4. En déduire le tableau des variations de la fonction T .
T '(t) < 0 ; T(t) est strictement décroissante de 750 à 25 °C.
5. En quoi ce résultat est-il cohérent avec le contexte de l’exercice ?
Le lingot se refroidit jusqu'à atteindre la température de la pièce.
6. Par le calcul, répondre aux questions suivantes :
a. Pourra-t-on démouler le lingot d’aluminium dans les 15 premières minutes ? Justifier.
Au bout de 15 min, la température du lingot est voisine de 360 °C, valeur supérieure à 250 °C, température de démoulage.
On ne peut pas démouler.
b. Au bout de combien de minutes le lingot d’aluminium peut-il être démoulé ?
T(t) = 725 exp(-0,05t) +25 = 250.
725 exp(-0,05t) = 225.
exp(-0,05t) = 225 / 725 =0,31.
-0,05t = ln(0,31) = -1,17 ; t =1,17 / 0,05 ~23,4 min.
Le graphique indique environ 22 min.

Partie C On s’intéresse à la température moyenne de l’aluminium durant le refroidissement.
Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir les résultats suivants :
T (t) := 725* exp(−0,05t)+25 ≈ T (t) := 725 e^−0,05t +25 T (t)
Intégrale : F= -14500 e^-t/20 +25t
Calculer la valeur moyenne de la température de l’aluminium durant la première heure de refroidissement. On donnera un arrondi au dixième de degré près.
[F(60-F(0) ] / 60.
-14500 exp(-60 / 20)+25 *60 +14500 exp( 0)-25*0=-14500 exp(-3)+1500 +14500 =-721,9+1500+14500=15 278.
15 278 / 60 ~255 °C.

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EXERCICE 2 10 points
Un sous-traitant automobile fabrique des supports de tableau de bord à partir de lingots d’aluminium. Pour cela, l’aluminium est fondu et moulé sous pression pour prendre la forme d’un tableau de bord.
Partie A
Le sous-traitant automobile utilise deux chaînes de production.
La première chaîne produit 30 % du stock et on sait que, sur cette chaîne, 1,8 % des supports présentent un défaut.
Sur la deuxième chaîne, 1,6 % des supports de tableau de bord présentent un défaut.
On choisit au hasard un support de tableau de bord dans le stock. On note :
- C₁ l’évènement « le support de tableau de bord provient de la première chaîne »;
-C₂ l’évènement « le support de tableau de bord provient de la deuxième chaîne »;
- D l’évènement « le support de tableau de bord présente un défaut ».
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
2. Déterminer la probabilité que le support de tableau de bord choisi provienne de la première chaîne et présente un défaut.
3. Montrer que la probabilité que le support de tableau de bord présente un défaut est égale à 0,016 6.

4. On choisit au hasard un support de tableau de bord du stock et on constate qu’il présente un défaut. Calculer la probabilité qu’il provienne de la première chaîne de production. On arrondira le résultat au millième.
0,0054 / 0,0166 =0,325.

Partie B
On admet, dans cette partie, que la probabilité de choisir au hasard dans le stock de l’entreprise un support de tableau de bord défectueux est de 0,016 6. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 supports de tableau de bord choisis au hasard dans le stock de l’entreprise, associe le nombre de supports de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à 50 tirages successifs avec remise d’un support de tableau de bord du stock. On choisit au hasard un prélèvement de 50 supports de tableau de bord.
1. Expliquer pourquoi la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Probabilité que le tableau soit défectueux : 0,0166.
50 prélevements sont assimilés à des titages acec remise.
X suit la loi binomiale de paramètre p = 0,0166 et n = 50.
2. Calculer la probabilité de n’avoir aucun support de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat au millième.
P(X=0) = (⁵⁰ ₀) x0,0166⁰x(1-0,0166)^50-0 =0,9834⁵⁰=0,433.
3. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un support de tableau de bord défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat au millième.
P(X >1) = 1-P(X=0)=1-0,433 = 0.567.

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