Mathématiques BTS Opticien lunetier 2026.

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Exercice 1. 10 points.
Une entreprise commercialise un nouveau type de verres. On étudie l’évolution des ventes de ce verre. Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A. Série statistique
L’évolution des ventes mensuelles de ce verre est donnée dans le tableau ci-dessous..

Mois
janvier 2026
février 2026
mars 2026
avril 2026
mai 2026
juin 2026

Rang du mois t
0
1
2
3
4
5

Nombre de verres vendus N
500
1660
3120
3750
3960
3990

Les données du tableau ont permis de réaliser le graphique suivant. Au vu de ce graphique, un ajustement linéaire de N en t est-il pertinent ? Justifier.

Non, les points ne sont pas alignés.
2. On pose le changement de variable z = ln ( 4000 / N −1 ) , et on obtient alors le tableau ci-dessous

Mois
janvier 2026
février 2026
mars 2026
avril 2026
mai 2026
juin 2026

Rang du mois t
0
1
2
3
4
5

Nombre de verres vendus N
500
1660
3120
3750
3960
3990

z
1,946
0,343
...
-2,708
-4,595
-5,989

a. Calculer la valeur de z pour le mois de mars 2026. On arrondira à 10⁻³ .
z = ln(4000 / 3120-1)= -1,266.
b. On note r le coefficient de corrélation linéaire de z en t. Sans calculer la valeur de r , expliquer pourquoi on peut être certain que r < 0.
Les valeurs de z décroissent lorsua t augmente : donc r est négatif.
c. Déterminer la valeur, arrondie à 10⁻³ , du coefficient de corrélation linéaire r . Un ajustement linéaire de z en t est-il pertinent ? Justifier.
La calculatrice donne -0,999.
Cette valeur étant proche de -1, un ajustement linéaire de z en t est pertinent.

d. Déterminer une équation de la droite de régression linéaire de z en t (selon la méthode des moindres carrés) sous la forme z = at +b. Les coefficients a et b seront arrondis à 10⁻¹ .
z = -1,6 t +2
e. On admet que la question précédente permet d’en déduire que le nombre de verres vendus N en fonction du rang du mois t est donné par la relation (R) : N = 4000 / (1+e^−1,6t+2) . Déterminer la constante C telle que l’égalité (R) s’écrive
N = 4000 / (1+Ce^−1,6t ). Donner un arrondi de la constante C à l’unité près.
e^−1,6t+2= e^-1,6t x e² =7,39 e^-1,6t.
C ~ 7.

Partie B. Équation différentielle
Le but de cette partie est de résoudre une équation différentielle dont la solution correspond au dénominateur de l’expression obtenue à la question A.2.e donnant le nombre de verres vendus N en fonction du rang du mois t.
On considère l’équation différentielle : (E) : y ′ +1,6y = 1,6, où y est une fonction inconnue de la variable t, définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, et où y ′ est sa fonction dérivée.
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E₀) : y ′ +1,6y = 0.
y = B exp(-1,6t) avec B une constante réelle.
2. On considère un réel A et la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[, par g(t) = A. Déterminer le réel A de telle sorte que la fonction g soit solution de l’équation différentielle (E).
g '(t) =0 ; repport dans (E) :
1,6 A = 1,6 ; A = 1.
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
y = B exp(-1,6t) +1
4. Déterminer la fonction h, solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale h(0) = 8.
h(0) = B exp(0) +1 ; 8 = B+1 ; B = 7.
h = 7 exp(-1,6t) +1.

Partie C. Étude d’une fonction.
On considère que l’évolution du nombre de verres vendus est modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f (t) = 4000 / (1+7e^−1,6t) . t désigne le rang du mois à partir de janvier 2026; ainsi t = 0 corrspond au moins de janvier 2026; t = 1 correspond au mois de février 2026. f (t) modélise le nombre de verres vendus.
On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. On note C la courbe de f dans un repère orthogonal.
1. Déterminer le nombre de verres vendus en avril 2026.
t = 3 ; f(3) = 4000 / (1+7 e^-4,8)=3782.
a. Justifier que la courbe C possède une asymptote dont on déterminera une équation.
Lorsque t tend vers +oo, e^{-1,6 t} tend vers zéro ; f(t) tend vers 4000.
La droite d'équation y = 4000 est asymptote horizontale.
b. Justifier que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. Dresser son tableau de variations.
On pose u =4000 et v = 1+7e^-1,6t ; u' = 0 ; v ' = -7*1,6 e^-1,6t ;
(u'v-v'u) / v² = +4000 *7*1,6 e^-1,6t / (1+7e^-1,6t)² = 44800 e^-1,6t / (1+7e^-1,6t)² .
Les termes en exponentielle étant positifs, la dérivée est positive et la fonction f(t) est strictement croissante de 500 à 4000..
c. On note T la tangente à la courbe C au point d’abscisse t = 0. Déterminer une équation de la tangente T . Justifier que la courbe C est située au-dessus de la tangente T au voisinage de t = 0.
Coefficient directeur de la tangente f '(0) = 44800 / 8²=700.
f(0) =4000 /8 =500.
Equation de la tangente à l'origine : y = 700 t+500.
y(1) = 1200 ; f(1) =4000 / (1+7e^−1,6)=1657.
La courbe est située au dessus de la tangente.

3. Le chef d’entreprise affirme : « il arrivera un moment où l’on commercialisera plus de 5000 verres par mois. » A-t-il raison ? Justifier.
Lorsque t tend vers +oo, le terme en exponentielle tend vers zéro et f(t) tend vers 4000. Il a tord.
4. Réaliser un schéma sommaire donnant l’allure de C et sur lequel les résultats des questions 2.a, 2.b et 2.c seront visibles.

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EXERCICE 2 10 points
Une usine fabrique des montures de lunettes dites « montures intelligentes ». Ces montures sont susceptibles de présenter deux types de défaut :
− un défaut concernant la batterie;
− un défaut concernant les charnières des branches.
Partie A. Probabilités conditionnelles
Dans cette partie, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à 10⁻³ . Le contrôle qualité prélève un échantillon de 1000 montures sur lequel il examine les éventuels défauts. Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous.

Monture avec défaut de charnlière
Monture sans défaut de charnlière total

Monture avec défaut de batterie
10
50
60

Monture sans défaut de batterie 20
920
940

total
30
970
1000

On prélève au hasard une monture parmi celles de l’échantillon et on considère les évènements :
-B : « la monture choisie présente un défaut de batterie ».
- C : « la monture choisie présente un défaut de charnières ».
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
2. Quelle est la probabilité que la monture choisie présente un défaut de charnières ?
30 / 1000 = 0,03.
3. Quelle est la probabilité que la monture choisie ne présente aucun défaut ?
920 /1000 = 0,92.
4. Déterminer la probabilité de C sachant B, notée P_B (C).
10 / 60=0,167.
Partie B. Loi binomiale
Dans cette partie, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à 10⁻³ .
On admet que dans le stock de montures produites par l’usine, 6 % d’entre elles présentent un défaut de batterie. On choisit au hasard 150 montures du stock que l’on dispose dans un colis et on note X la variable aléatoire qui compte le nombre de montures du colis présentant un défaut de batterie.
1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
p = 0,06 et n = 150.
2. Quelle est la probabilité qu’il y ait au maximum 9 montures présentant un défaut de batterie dans le colis ?
P(X < 9) = 0,587 d'après la calculatrice.
3. Si dans le colis le nombre de batteries présentant un défaut de batteries est strictement supérieur à 12, le colis n’est pas expédié. Quelle est la probabilité que le colis ne soit pas expédié ?
P(X > 12) =0,117 d'après la calculatrice.
4. Déterminer l’espérance E(X) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
E(X) = n p = 150 x0,06 = 9.
En moyenne 9 montures présentent un défaut dans un colis.

Partie C. Loi normale
On s’intéresse à la durée de vie des batteries des montures. On note Y la variable aléatoire qui mesure la durée de vie, en heures, d’une batterie. On sait que la variable aléatoire Y suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type s. La fonction de densité de la variable aléatoire Y est représentée ci-dessous. L’aire grisée correspond à une probabilité égale à 0,95.

1. Donner la valeur de la moyenne µ.
µ = 720.
2. Justifier que l’écart-type est environ égal à 25.
L'intervalle à deux écart types est (720-670)=50 ; donc s = 25.
3. Déterminer les probabilités P(Y > 720), P(Y < 770) et P(Y < 670).
P(Y > 720) = 0,5
P(Y < 770)=1- (1-0,95) / 2 = 0,925.
P(Y < 670) = 0,025.

Partie D. Intervalle de confiance
Le fabricant souhaite connaître la proportion p de clients satisfaits de cette nouvelle monture. Il réalise une enquête auprès de 800 clients; 616 déclarent être satisfaits.
1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue p.
p = 616 / 800 = 0,77.
2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion inconnue p avec le niveau de confiance de 95 %. Les bornes de l’intervalle seront arrondies à 10⁻² .
1,96 [ 1-f) / n]^½ =1,96 [ 1-0,77) / 800]^½ =0,033.
[0,77 -0,033 ; 0,77 +0,033) soit [0,74 ; 0,80].
3. On suppose à présent que l’enquête est réalisée, non pas auprès de 800 clients, mais de 200 clients, et que 154 d’entre eux se déclarent satisfaits. Dans ce cas, l’intervalle de confiance obtenu à la question 2 est-il modifié ? Justifier.
f = 154 / 200=0,77 inchangé.
1,96 [ 1-f) / n]^½ =1,96 [ 1-0,77) / 154]^½ =0,076.
Intervalle de confiance [0,77 -0,076 ; 0,77 +0,076) soit [0,69 ; 0,84].
Cet intervalle est modifié.

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