Aurélie 22/03/10
 

 

La foudre : champ électrique de l'atmosphère,  concours Capes 2010.

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Système terre - atmosphère.
On considère que la terre et son atmosphère constituent les deux armatures d'un condensateur sphérique. L'armature terrestre est chargée négativement, l'atmosphère positivement. Au voisinage du sol, le champ électrique créé est de l'ordre de 100 V m-1.
On suppose conventionnellement que le sol est de potentiel nul.

Compléter la figure ci-dessous et attribuer à chacune des équipotentielles sa valeur en volts, sachant qu'elles sont séparées d'un mètre. Représenter quelques lignes de champ électrique.
En rouge quelques lignes de champ électrique.

Effet de pointe : les lignes de champ et les équipotentielles se resserent : le champ est plus fort.
Le système terre -atmosphère est localement modèlisable par un condensateur plan dont une armature porte la densité surfacique s supposée positive. On rappelle qu'un plan infini portant  la densité surfacique s crée un champ électrique de norme Eplan = s / (2e0).
Rappeler l'expression du champ électrique crée par une charge ponctuelle Q située en un point de l'espace et vérifier ainsi l'homogénéité de l'expression précédente.
Les lignes de champ concourent au point où se trouve la charge. Elles fuient la charge si celle ci est positive. Elles viennent vers la charge si celle ci est négative. Les surfaces équipotentielles sont des sphères centrées sur la charge. 



s : C m-2 ; Q / PM2 :
C m-2 ; 4 p est sans dimension ; s / (2e0) est bien homogène à un champ électrique.
 

Représenter le vecteur champ électrique de part et d'autre du plan infini portant la densité de charge s. Etablir l'expression de Eplan.
Appliquer le théorème de Gauss : la surface de Gauss est un cylindre de section dS.
Le flux du champ est nul à travers la surface latérale du cylindre, celle-ci étant perpendiculaire au champ.

On considère une deuxième plan infini, parallèle et situé à la distance e du précédent. Ce plan porte une densité surfacique de charge -s uniforme.
Les deux plans sont séparés par de l'air dont la permittivité sera prise égale à e0.

Valeur du champ uniforme entre les armatures E = s/e0.
A.N : s = 1,1 10-9 C m-2 ; e0 = 8,9 10-12 F m-1. E = 1,1 10-9 / 8,9 10-12  =124 ~1,2 102 V m-1.
Il s'agit d'une valeur moyenne, la norme du champ électrique évoluant régulièrement avec l'altitude.





Le champ électrique dans la basse atmosphère.
Dans la basse atmosphère, où se développent les orages, le champ de pesanteur peut être supposé uniforme et noté  . L'air est assimilé à un gaz parfait pour lequel g = cp/cv le rapport entre les capacités thermiques massiques à pression constante et à volume constant. L'atmosphère est en équilibre adiabatique et l'on note r(z) et P(z) les masse volumique et pression mesurées  à l'altitude z, l'axe des z étant orienté selon la verticale ascendante. L'étude est faite dans un référentiel galiléen.
Qu'est-ce q'un référentiel ? Un référentiel en translation rectiligne par rapport à un référentiel galiléen est-il galiléen ? Justifier.

Un référentiel est un objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un corps. Dans un référentiel galiléen, les lois de newton s'appliquent.
Un référentiel en translation rectiligne et uniforme, par rapport à un référentiel galiléen, est galiléen.
Un référentiel en translation rectiligne, par rapport à un référentiel galiléen, n'est pas galiléen.
On isole par la pensée un parallélépipède élémentaire d'air, de côtés dx, dy et dz, d'altitude comprise entre z et z+dz, que l'on suppose en équilibre.
Représenter les forces extérieures verticales agissant sur ce volume infinitésimal. Etablir la relation de la statique des fluides dP = -rgdz.
Les forces extérieures sont le poids de l'air intérieur et les forces pressantes dues à l'air extérieur.



Enoncer la loi de laplace de la thermodynamique en fonction des variable P et V. Exprimer cette loi à l'aide des variables r et P.
Dans le cas d'une transformation adiabatique réversible : P Vg = Cste.
V = m / r = n M /
r = une constante / r ; par suite P / rg = Cste.
On suppose que l'atmosphère est en équilibre adiabatique. L'équilibre hydrostatique étant atteint,
Ddémontrer que la masse volumique peut se mettre sous la forme :


p / rg = p0 / r0g =Cste ; dp = -rgdz.
La dérivée logarithmique de
P / rg = Cste. s'écrit : dp/ p = g dr / r ;

On admet qu'il y a proportionnalité entre le champ électrique E(z) et la masse volumique r(z).
Exprimer E(z) en fonction du champ à proximité du sol E0, de g, g, R, z, de la masse molaire moyenne de l'air M et de la température T0 au niveau du sol.

Ce champ électrique présent dans la basse atmosphère induit alors la circulation des ions qu'elle contient.






Le mouvement des ions.
Bien quélectriquement neutre, l'atmosphère est constituée de nombreux ions, qui vont se déplacer dans le champ électrique. On étudie dans cette question le mouvement d'un cation, de charge e et de masse m, se déplaçant à la vitesse v dans le champ électrique terrestre, supposé constant et uniforme. Le champ magnétique terrestre et la pesanteur sont négligés. Lors de son déplacement, l'ion subit une force de frottement  fluide :
Citer un mécanisme à l'origine de la création d'ions dans l'atmosphère.
Dans la haute atmosphère, les rayons cosmiques ionisent atomes et molécules.
Etablir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse.
Le cation est soumis à son poids, à une force électrique et à la force de frottement fluide :
Le poids est négligeable devant la force électrique. On écrit la seconde loi de Newton sur un axe vertical ascendant :

La solution particulière est la vitesse limite : vlim = e / l E.
Solution générale de l'équation sans second membre : v = A exp(-lt/m) avec A une constante.
Solution générale :
v = A exp(-lt/m) +e / l E.
A t = 0, la vitesse initiale  est supposée nulle : 0 = A +
e / l E.
v =
e / l E ( 1-exp(-lt/m)).
Le temps caractéristique est t = m / l.
L'unité de l est : kg s-1.
A.N : E = 100 V m-1 ; m = 4,8 10-26 kg.
vlim = e / l E = 1,6 10-19 *100 / 5,0 10-16 =3,2 10-2 m s-1.
t =
4,8 10-26 / 5,0 10-16 = 9,6 10-11 s.
Poids du cation : mg ~
4,8 10-26 * 10 = 4,8 10-25 N.
Force électrique : eE =
1,6 10-19 *100 = 1,6 10-17 N, très supérieure au poids.
Valeur du champ magnétique terrestre : B ~ 5 10-5 T.

Force magnétique : e vlim B = 1,6 10-19 *
3,2 10-2 *5 10-5 ~2,5 10-25 N, négligeable devant la force électrique.
Ce déplacement d'ions va tendre à annuler la différence de potentiel entre la terre et l'atmosphère. Pour maintenir le déséquilibre entre la  charge terrestre et celle de l'atmosphère, il faut donc constamment recharger négativement la terre. C'est ce que font les orages, par le biais de la foudre.







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