Aurélie 20/05/10
 

 

Sonar, chute, projectile :Concours AVENIR 2010.


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22. L’équipage d’un bateau désire connaître le relief sous-marin à l’aide d’un sonar.
Le bateau se déplace suivant un axe (Ox), depuis la verticale du point O vers la verticale d’un point A distant du point O de 100 m. À intervalle régulier, le sonar du bateau envoi une salve d’ondes ultrasonores et enregistre le décalage Dt entre le signal émis et le signal reçu qui est l’écho renvoyé par le fond sous-marin.
p désigne la profondeur. veau = 1500 m/s.

A. p = veau Dt . Faux ; 
B. p = ½veau Dt . Vrai C. p = veau  / Dt . Faux ; D. aucune des trois réponses. Faux .

23. On enregistre le décalage Dt en fonction de l’abscisse x du bateau. On obtient le graphe suivant :

Le profil du fond sous marin est :

La profondeur est d'autant plus faible que Dt est plus petit.
Si Dt = 4 ms, h = 1500*0,002 = 3 m ;
si Dt = 6 ms, h = 1500*0,003 = 4,5 m ; si Dt = 3 ms, h = 1500*0,0015 = 2,25 m ; B est vrai.


Exercice 4.
On lâche une bille métallique le long d’une rampe. La bille est soumise à la pesanteur g ; on note m sa masse. On note On note x' = dx/dt et x" = d2x/dt2. Les frottements sont considérés comme nuls.

 

 A l’instant t = 0, on lâche la bille du point O, avec une vitesse initiale nulle.
On choisit un repère orthonormé (Oxy), l’axe (Ox) étant parallèle à la rampe (voir schéma).
Partie A : on s’intéresse dans cette première partie à la descente sur la partie OA de la rampe considérée alors comme un segment de droite.
24. Dans le repère orthonormé (Oxy) les composantes du poids de la bille sont :

A. mg cos a ; -mg cos a . Faux ;  B. mg cos a ; -mg sin a . Faux C. mg sin a ; -mg cos a . Vrai  ; D. aucune des trois réponses. Faux.

25. On note x l’abscisse de la bille dans le repère précédent. On a l’équation différentielle :
A. x" = g sin a . Vrai ;  B. x" = g cos a . Faux C. x" = g sin a . Faux  ; D. aucune des trois réponses. Faux.

26. On en déduit :
A. x' = g sin a t. Vrai ;  B. x' = g cos a t. Faux C. x' = mg sin a t. Faux  ; D. aucune des trois réponses. Faux.

27. On  a donc :
A. x= ½g sin a t2. Vrai ;  B. x=½g cos a t2. Faux C. x=½mg cos a t2. Faux  ; D. aucune des trois réponses. Faux.

28
.
Pour atteindre le point A la bille met un temps égal à :
A.  1/ sin a (2H/g)½. Vrai ;  B. sin a (2H/g)½. Faux C. 1/ cos a (g / (2H))½. Faux  ; D. aucune des trois réponses. Faux.
Abscisse du point A : H /
sin a ;  H /sin a = ½g sin a t2 ; t2 = 2H/ (g sin2 a ).





Partie B : On regarde dans cette partie l’intégralité de la chute le long de la rampe OAB. 
29. Au cours de cette chute :
A.  l'accélération est nulle en A. Faux ;
Le vecteur vitesse varie en A, l'accélération n'est pas nulle.
 
B. la vitesse est maximale en sortie de rampe au point B. Faux ;
La vitesse est maximale en A.

C. l’accélération est nulle en O. Faux ;
L'accélération vaut g sin a sur le plan incliné.
 D. aucune des trois réponses
Vrai.

30. Au cours du mouvement :
A.  il y a une dispersion d’énergie. Faux ;
les frottements sont nuls.
 
B. l’énergie cinétique est constante. Faux ;
C'est l'énergie mécanique qui est constante.

C. l’énergie potentielle due à la pesanteur augmente. Faux ;
elle diminue lors de la descente puis augmente  de A en B.
 D. la somme des énergies cinétique et potentielle est constante
Vrai.

31. Sur le graphique suivant une des 4 courbes représente l’énergie cinétique de la bille.


L'énergie cinétique est initialement nulle, elle augmente de O en A puis décroît de A en B. Donc courbe c.

32. En sortie de rampe au point B, la vitesse de la bille vaut vB =
A. (2g(H-h))½. Vrai.
Th. de l'énergie cinétique entre O et B : seul le poids travaille, l'action du support étant perpendiculaire à la vitesse.
½mv2B-0 = mg(H-h)
.
 
B. (2g(h-H))½. Faux ;
C. (g(H-h))½. Faux ;
 D. aucune des trois réponses précédentes
. Faux.

Partie C : On s’intéresse enfin à la chute de la bille une fois qu’elle est sortie de la rampe.


On choisit un nouveau repère orthonormé (B XY), dont l’origine est le point B, sortie de la rampe.
L’axe (BX) est maintenant horizontal.
On fixe une nouvelle origine des temps t = 0 au moment où la bille quitte la rampe : la bille a alors une vitesse initiale vB dont l’angle avec l’horizontale est le même angle α que précédemment.
On note x(t) et y(t) les coordonnées de la bille dans le repère (B XY) en fonction du temps.

33. Dans le repère (B XY), on a les équations différentielles suivantes :
A. x" = g cos a ; y" = g sin a ; Faux.
Chute libre  : les composantes de l'accélération  sont : (0 ; -g) ; x" = 0 et y" = -g.
 
B. x" = 0 ; y" = g ; Faux ;
C. x" = g ; y" = 0 . Faux ;
 D. aucune des trois réponses précédentes
. Vrai.

34. Dans le repère (B XY), on a les équations différentielles suivantes :
A. x' = vB cos a ; y' = vB sin a -gt. Vrai.
B. x' = vB sin a ; y' = vB cos a -gt. Faux ;
C. x' = vB cos a ; y' = vB sin a +gt. Faux ;
 D.
x' = vB sin a ; y' = vB cos a +gt. Faux.

35. Dans le repère (B XY), on a les équations du mouvement suivantes :
A. x = vB cos a t ;  y = vB sin a t + ½gt2. Faux ;
B. x = vB cos a t ;  y = vB sin a t -½gt2. Vrai.
C. x = vB sin a t ;  y = vB cos a t -½gt2. Faux ;
 D.
aucune des trois réponses précédentes. Faux.








36. Dans le repère (B XY), l’altitude maximale de la bille est atteinte à l’instant :
A vB sin a /g .Vrai ;
B. vB /g. Faux ;
C. vB cos a /g. Faux.
 D.
aucune des trois réponses précédentes. Faux.
A l'altitude maximale : y' = vB sin a -gt = 0 soit t =vB sin a /g.

37. Dans le repère (B XY) l’altitude maximale vaut :
A (H-h) cos2 a. Faux ;
B. H-h. Faux ;
C. (H-h) sin2 a. Vrai ;
 D.
aucune des trois réponses précédentes. Faux.
A l'altitude maximale : y' = vB sin a -gt = 0 soit t =vB sin a /g ;
 repport dans y : ymax =½ vB2 sin2 a / g avec 
vB2 = 2 g(H-h).

38. La bille recoupe l’axe (BX) à l’instant :
A 2 vB / g. Faux ;
B. vB sin a /g . Faux ;
C. 2vB cos a /g . Faux.
 D.
2vB sin a /g .Vrai ;
au point d'impact : y = vB sin a t -½gt2= 0 ; vB sin a  -½gt = 0  ; t = 2vB sin a  /g.

39 . On s’intéresse à la distance parcourue horizontalement par la bille.
Lorsque la bille recoupe l’axe (BX), sa distance avec le point B vaut :

A 4(H-h) sin a cos a. Vrai ;
B. 4(H-h) sin2 a. Faux ;
C. 4(H-h) cos2 a. Faux ;
 D.
aucune des trois réponses précédentes. Faux.
t = 2vB sin a  /g  : repport dans x = vB cos a t :
x = 2v2B sin a cos a / g avec  vB2 = 2 g(H-h).









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