Aurélie 22/06/11
 

 

    Science apliquée... : bac S Antilles 2011.


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Peut-on produire un son très aigu à la limite du supportable avec une simple tige en aluminium ? Grâce à la physique des ondes sonores, c'est parfaitement possible. Cette expérience étonne un grand nombre de personnes, les physiciens eux-mêmes !
Dans une tige métallique, on peut avoir plusieurs mouvements de vibration qui engendrent un son.
- L’onde est transversale : la tige oscille autour de son axe. Déformer une tige selon ce mouvement demande peu de force. La vibration est de faible énergie d’où un son de basse fréquence (note grave).
C’est le même phénomène qui se produit quand un marteau frappe une plaque de xylophone.

- L’onde est longitudinale : la tige se contracte et se dilate le long de son axe. Il faut plus d'énergie pour imposer ce mouvement à la tige. La vibration demande plus d'énergie, d’où un son de fréquence élevée (note aigüe). C’est le phénomène qui se produit quand un archet glisse sur la corde d’un violon.

[..] On peut ainsi à l’aide de plusieurs tiges, fabriquer un instrument de musique à condition de respecter les contraintes imposées par la gamme tempérée de Bach.
Une gamme musicale est déterminée par les écarts de fréquence entre les notes qui composent la gamme. Il existe un grand nombre de gammes selon leur origine culturelle.
La gamme utilisée dans la musique occidentale est basée sur « la gamme au tempérament égal » ou encore « gamme tempérée » de Jean-Sébastien Bach.

D’après le site : www.scienceamusante.net

 

Dans cet exercice, l’onde est longitudinale et se propage à la vitesse v dans la tige. La section des tiges est un paramètre constant dans tout l’exercice.




La tige est le siège d’ondes stationnaires. Elle se comporte comme une colonne d’air de longueur L ouverte aux deux extrémités. Elle oscille à la fréquence f0 dans son mode fondamental. Son état vibratoire peut alors être représenté de la manière suivante :

 

 



Une tige qui siffle :

La tige est le siège d’ondes stationnaires.
 L’onde est longitudinale. Donner une définition de ce type d’onde.
 
Une onde est longitudinale lorsque le déplacement des points du milieu de propagation s'effectue dans la même direction que celle de la propagation.
 Qu’appelle-t-on onde stationnaire ?

 

Lorsqu'une onde rencontre un obstacle rigide, elle produit une onde réfléchie :

La superposition d'une onde progressive sinusoïdale de fréquence f et de l'onde réfléchie sur un obstacle fixe produit une onde stationnaire : une vibration sans propagation, de fréquence f.
Quelle relation existe-t-il entre le mode fondamental et les autres harmoniques ?
Les fréquences des harmoniques sont des multiples de la fréquence du mode fondamental.
Définir ce qu’on appelle nœud de vibration.
Un noeud est un point immobile : il ne vibre pas.
 On note
l la longueur d’onde du son de fréquence f. Exprimer l en fonction de la longueur L de la tige.
Les ondes stationnaires s'établissent si la longueur L de la tige est un multiple de la demi-longueur d'onde l.
2L = nl.

À l’aide d’un microphone, on visualise sur l’écran d’un oscilloscope une tension électrique, image du mouvement vibratoire de la tige.
           Qu’appelle-t-on hauteur d’un son ?

La hauteur d'un son est caractérisée par la fréquence du fondamental.
            La tige est en aluminium.
                        La fréquence du mode fondamental est égale à 2093 Hz.
Parmi les spectres en fréquence proposés en figure 1 et figure 2 ci-dessous, lequel correspond au son émis, sachant qu’il s’agit d’un son pur ?

Un son pur ne possède pas d'harmoniques ; le spectre ne possède qu'un seul pic, celui du mode fondamental : donc figure 1.



La vitesse de propagation v du son à l’intérieur d’un matériau dépend de certains paramètres, notamment de la masse volumique de ce matériau.
Répondre par « vrai » ou « faux » aux affirmations ci-dessous, en justifiant son choix.
 Affirmation 1 : Les tiges de même matériau et de longueurs différentes donnent des notes différentes : la note est plus grave quand la tige est plus longue. Vrai.
L =½n l = ½n v /f0 ; f0 =n v / (2L) avec v une constante ( même matériau constituant les tiges )
A la tige la plus longue, correspond la fréquence du mode fondamental  la plus petite, donc au son le plus grave.

 Affirmation 2 : La tige en aluminium donne une note plus aiguë que la tige en laiton de même longueur.
Vrai.
Les longueurs des tiges sont identiques ; le matériau est différent : à la plus grande vitesse, correspond la plus grande fréquence du mode fondamental, donc au son le plus aigu.
On donne les valeurs de la vitesse du son dans l’aluminium et le laiton.

Matériauv (m/s)
aluminiumvoisine de 4190
laiton ( 70 % Cu ; 30 % Zn )voisine de 3470

Des tiges musicales.
Dans la gamme de Bach, il y a 12 notes séparées chacune d’un intervalle appelé « demi-ton ».

La fréquence f0 est la fréquence de la note « do » donnée par la tige n°0 de longueur L0.
La fréquence f12 est la fréquence de la même note à l’octave supérieure. Cette note sera donnée par la tige n°12 de longueur L12.
Par définition de l’octave, f12 = 2.f0

Par conséquent, si k est le rapport de fréquences de deux notes consécutives, k est égal à 21/12. 
k est appelé intervalle ou degré ou demi-ton. Il est indépendant du couple de notes qui se suivent, d’où le nom de « gamme tempérée » ou « tempérament égal » pour cette gamme (tempérament = accord).






 Rappeler la relation qui existe entre la longueur L d’une tige, la vitesse v de propagation de l’onde dans la tige et la fréquence f du son émis.
L =½n l = ½n v /f ; f = n v / (2L).
La tige numéro 0 a pour longueur L0 = 1,00 m.
Elle vibre dans son mode fondamental à la fréquence f0 = 2093 Hz.
Par définition de la gamme tempérée de Bach, la fréquence f1 de la tige n°1 de longueur L1 est donnée par la relation f1 = 2 1/12 f0. Montrer que la longueur L1 s’ écrit : L1 = L0 / 2 1/12.
f1 = 2 1/12 f0 =
2 1/12 n v / (2L0).
Or f1 =
n v / (2L1), d'où : 2 1/12 n v / (2L0) = n v / (2L1)
2 1/12
/ L0 = 1 / L1 ; L1 =L0 / 2 1/12.

 Ces relations s’écrivent pour la tige n : fn = 2n/12 f0 et Ln = L0 / 2 n/12
En s’aidant du tableau ci-dessous, quelle serait la fréquence de la tige la plus courte ? Retrouve-t-on la valeur donnée pour la définition de l’octave, donnée page précédente ?


La tige la plus courte correspond à la plus grande valeur de 2 n/12, c'est à dire à n =12.
L12 = L0 / 2 = 0,50 m.
fn = 2n/12 f0
 ; f122f0=4186 Hz.
 Cela correspond bien à la définition de l'octave.



 



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