Mathématiques : étude d'une fonction,  bts

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Etude d'une fonction.
Soit la fonction définie sur [0 , +oo[ par f(x) = (0,25 x) exp(-0,125 x2).
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère (O, i, j).
Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers l'infini ?
exp(-0,125 x2) tend très rapidement vers 0 et 0,25 x tend plus lentement vers l'infini ; l'exponentielle est prépondérante par rapport à 0,25 x : par suite f(x) tend vers zéro lorsque x devient très grand.
On peut encore dire que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe C quand x tend vers l'infini.
Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 , +oo[,  f '(x)=0,0625(2+x)(2-x) exp(-0,125x2).
On pose u = 0,25 x et v = exp(-0,125x2).
u' = 0,25 ; v' = -0,25 x exp(-0,125x2).
Dérivée d'un produit : f '(x) = u' v + v' u = 0,25exp(-0,125x2)-0,25*0,25 x2 exp(-0,125x2)
f '(x)=0,25 exp(-0,125x2) (1-0,25 x2).
f '(x) =0,25/4 exp(-0,125x2) (4-0,25*4 x2).
f '(x)= 0,0625 exp(-0,125x2) (4-x2).
f '(x) = 0,0625 exp(-0,125x2) (2-x)(2+x).
En déduire le signe de f'(x) sur [0 , +oo[.
 0,0625 exp(-0,125x2) est toujours positif.
 (4-x2) est positif si x est inférieur à 2 ; (4-x2) est négatif si x est supérieur à 2.
Dresser le tableau de variation de la fonction sur [0, +oo[.

Un logiciel de calcul formel,fournit le développement limité de la fonction f, à l'ordre 3, au voisinage de zéro :
f(x) = 0,25x-0,031 25 x3 + x3e(x).
 En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse x=0.
y = 0,25 x.
Etudier la position relative de T et C au voisinage du point d'abscisse 0, pour x positif.
Au voisinage de zéro, f(x)-y =-0,031 25 x3 avec x positif.
f(x)-y est négatif ; f(x) < y : la tangente est située au dessus de la courbe C.
 
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Etude locale d'une fonction.
Soit la fonction définie sur R par f(x) = f(x) = (1-5x) exp(-2x).
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère (O, i, j) orthogonal.
On admet le résultat suivant : la limite de -5x exp(-2x) vaut zéro quand x tend vers l'infini.
Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers l'infini ?
-5x exp(-2x) tend vers zéro et exp(-2x) tend également vers zéro quand x devient très grand.
 Par suite f(x) tend vers zéro lorsque x devient très grand.
On peut encore dire que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe C quand x tend vers l'infini.
 Le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction h(x) = esp(x) est :
h(t) = 1 +t +½t2 + t2e(t).
Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction  exp(-2x).
Remplacer t par -2x dans le développement précédent.
g(x) = 1 -2x +2x2 + x2e(x).
En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de  la fonction f est :
f(x) = 1-7x+12x2+ x2e(x).
f(x) = (1-5x) ( 1 -2x +2x2 + x2e(x)).
f(x) = 1 -2x +2x2 -5x +10x2 + x2e(x)).
f(x) = 1 -7x +10x2 + x2e(x)).
En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse x=0.
y = 1-7x.
Etudier la position relative de T et C au voisinage du point d'abscisse 0, pour x positif.
Au voisinage de zéro, f(x)-y = +10 x2 avec x positif.
f(x)-y est positif ; f(x) > y : la tangente est située en dessous de la courbe C.

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Etude d'une fonction.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =(2x-1) ex+3. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. On admet que la limite de xex est nulle quand x tend vers moins l'infini.
Calculer la limite de f(x) quand x tend vers moins l'infini.
f(x) = 2xex-ex+3.
Quand x tend vers moins l'infini :
la limite de 2x ex vaut zéro ; la limite de ex vaut zéro ; la limite de f(x) est  égale à 3.
On peut encore dire que la droite d'équation y = 3 est asymptote à la courbe C quand x tend vers moins l'infini.
En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de  la fonction f est :
f(x)=2 + x +1,5 x2+x2e(x).
 Le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction h(x) = ex est :
h(x) = 1 +x +½x2 + x2e(x).
 f(x) =(2x-1) ex+3 = (2x-1)(1 +x +½x2 + x2e(x))+3.
Développer en se limitant à l'ordre 2 : f(x)= 2x +2x2-1-x-½x2+ x2e(x)+3.
Simplifier : f(x)= 2+x +1,5x2+ x2e(x).
En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse x=0.
y = 2+x.
Etudier la position relative de T et C au voisinage du point d'abscisse 0.
Au voisinage de zéro, f(x)-y = +1,5 x2 .
f(x)-y est positif ; f(x) > y : la tangente est située en dessous de la courbe C.
Etude d'une fonction.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) =(1+x)ex +2x+2. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Calculer la limite de f(x) quand x tend vers  l'infini.
Quand x tend vers l'infini :
 (1+x)ex  tend vers l'infini ; 2x tend vers l'infini : f(x) tend vers l'infini.
La courbe C admet une asymptote en moins l'infini. Quelle est son équation ?
Quand x tend vers moins l'infini : ex  tend vers zéro ; l'exponentielle étant prépondérante devant un polynome :
(1+x)ex  tend vers zéro. La droite d'équation y = 2x+2 est donc asymptote.
Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de  la fonction f est :
f(x)=3 + 4x +1,5 x2+x2e(x).
 Le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction h(x) = ex est :
h(x) = 1 +x +½x2 + x2e(x).
 f(x) =(x+1) ex+2x+2 = (x+1)(1 +x +½x2 + x2e(x))+2x+2.
Développer en se limitant à l'ordre 2 : f(x)= x +x2+1+x+½x2+ x2e(x)+2x+2.
Simplifier : f(x)= 3+ 4x +1,5x2+ x2e(x).
En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse x=0.
y = 3+4x.
Etudier la position relative de T et C au voisinage du point d'abscisse 0.
Au voisinage de zéro, f(x)-y = +1,5 x2 .
f(x)-y est positif ; f(x) > y : la tangente est située en dessous de la courbe C.




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