Probabilités,
loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Bts groupe D 2014.
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Exercice
2.
Une usine fabrique en série des pompes de surface destinées à
l’irrigation agricole.
Le cahier de charges demande que ces pompes aient un débit de 6 m3·
h−1 (6 m3 par heure)
avec une tolérance de ±0,25 m3 · h−1.
En sortie de chaîne de fabrication , une pompe peut présenter deux
types de défauts indépendants : un défaut de débit et un défaut
mécanique.
Partie
A : le
défaut mécanique.
Une étude statistique permet d’estimer que 1% des pompes fabriquées
présente un défaut mécanique. Les pompes sont conditionnées par caisses
de cinquante.
On considère, pour l’étude, que la constitution d’une caisse peut être
assimilée à un prélèvement au hasard et avec remise de cinquante pompes
dans la production, très importante, de l’usine.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque caisse de cinquante
pompes, associe le nombre de pompes présentant un défaut mécanique.
1. Justifier que X
suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Chaque
prélèvement est une épreuve de Bernoulli, avec
les deux évènements contraires :
succès : le sachet est non conforme p = 0,01 ;
échec : le sachet est conforme q = 1-p = 0,99.
Cette épreuve est répétée 50 fois ( n = 50 ) et les
épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage
avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de
paramètres n =50
et p=0,01.
2. a. Calculer la
probabilité qu’une caisse contienne une pompe présentant un défaut
mécanique. Arrondir le résultat aumillième.
P(X=1) =
Cn1 p1
qn-1 =
50*0,01 *0,9949 =0,30556 ~0,306.
b. Calculer la
probabilité qu’une caisse contienne au moins deux pompes présentant un
défaut mécanique. Arrondir le résultat au millième.
P(X=0) =
Cn0 p0
qn = 1*1 *0,9950 =0,605.
1-P(X=0)-P(X=1)
=1-0,605-0,30556 ~0,089.
3.
On décide d’approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre l.
a.
Quelle valeur du paramètre l choisit-on?
Justifier.
l
= np = 50*0,01 = 0,5.
b.
On note Y une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de
paramètre l.
En utilisant la variable aléatoire Y, estimer la probabilité
qu’une caisse contienne au moins quatre pompes présentant un défaut
mécanique. Arrondir le résultat aumillième..
1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)-P(Y=3)
=1-0,6065-0,3033-0,0758-0,0126 =0,0018 ~0,002.
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Partie B.
Le défaut de
débit.
Une pompe est conforme au cahier des charges pour le débit si celui-ci
est compris entre 5,75 m3
· h−1 et 6,25 m3· h−1.
Dans le cas contraire, la pompe présente un défaut de débit. On note Z
la variable aléatoire qui associe à chaque pompe produite son débit
exprimé en m3· h−1. On
suppose que la variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne m =
6 et d’écart type s
= 0,15.
Calculer la probabilité qu’une pompe, prélevée au hasard dans la
production, présente un défaut de débit. Arrondir le résultat au
millième.
p(5,75
<= Z <=6,25) = p(-0,25 / 0,15
<= (Z-m)
/ s<=0,25
/ 0,15) = p(-1,67
<= (Z-m)
/ s
<=1,67)
(Z-m) / s suit
la loi normale centrée réduite : 2P(1,67)-1.
Les tables
donnent P(1,67)
=0,952.
Probabilité pour qu'une
bouteille
soit conforme : 2P(1,67)-1
=2*0,952-1 ~0,904.
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Partie C :
estimation du débitmoyen des pompes d’une livraison.
Une entreprise commande un nombre important de pompes.
Lors de la livraison, le service qualité de l’entreprise cherche à
estimer la moyenne inconnue µ, exprimée en m3· h−1,
des débits des pompes qui lui sont livrées à partir de mesures faites
sur un échantillon de cinquante pompes prises dans la livraison.
On considère que cet échantillon peut être assimilé à un prélèvement au
hasard et avec remise de cinquante pompes dans la livraison.
1.
Les résultats des mesures effectuées sont donnés dans le tableau
ci-dessous :
| Débit
|
5,7 |
5,8 |
5,9 |
6 |
6,1 |
6,2 |
6,3 |
| Nombre
de pompes m3·
h−1 |
9 |
8 |
10 |
9 |
10 |
3 |
1 |
Calculer
la moyenne et l’écart type de la série de mesures ci-dessus. On
arrondira l’écart type au millième.
Moyenne : 5,932 ~5,93 m3·
h−1 ; écart
type 0,163.
2. On note X la
variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 50 pompes choisies au
hasard dans la livraison, associe lamoyenne des débits de ces 50
pompes, exprimée en m3 · h−1.
On admet que Xmoy suit la loi normale de moyenne
inconnue µ et d’écart type 0,16 / 50½ =0,0226.
a.
Déterminer un nombre a tel que p(µ−a <= Xmoy
<=µ+a) = 0,95.
Donner une valeur approchée au millième par excès de a.
Les
tables donnent t = 1,65 ; a = 0,0226*1,65 = 0,0373.
b. Donner un
intervalle de confiance de la moyenne µ des débits des pompes livrées
avec un coefficient de confiance supérieur ou égal à 95%.
[5,93 -0,0373 ; 5,93 +0,0373 ] soit : [ 5,89 ; 5,97 ].
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