Pendule simple,
�lectrons relativiste.
Concours kin� Berck 2016.
En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Pendule
simple.
On �carte le pendule, fil tendu, de la verticale d'un angle q1.Le solide
ponctuel se trouve en M et on le l�che sans vitesse initiale. Lorsque
le pendule passe par la verticale du point O, il rencontre un clou fix�
en A. La partie OA reste bloqu�e. Le solide remonte jusqu'au point P.
On n�glige les frottements ; la r�f�rence de l'�nergie potentielle est
le point E. On note AE = L'.
Masse du solide ponctuel m = 250 g ; L = 52,3 cm ; q1 = 25,0� ; q2 = 57,4 �.
1. Calculer
l'�nergie m�canique du solide ponctuel.
L'�nergie m�canique reste constante, en absence de frottement.
L'�nergie m�canique initiale est sous forme potentielle et vaut :
mgL(1-cos q1) =0,250 *0,523(1-cos25)=0,120 J ~120 mJ.
2. En d�duire la vitesse vE
du solide au passage en E.
En E, l'�nergie m�canique du solide est sous forme cin�tique.
�mvE2 = 0,01255 ; vE2
=2*0,120 / 0,25 =0,96 ; vE =
0,98 m /s.
3.
Calculer OA en cm.
L'�nergie m�canique en P est sous forme potentielle et vaut :
mgAP(1-cos q2) =0,120 ; AP = 0,120 / [mg(1-cos q2) ].
AP = 0,120 / [0,25*9,8(1-cos57,4)]=0,106 m.
OA = L-AP=0,523-0,106 =0,417 m = 41,7 cm.
4. D�terminer la valeur de la
tension T ( en N ) exerc�e par le fil sur le solide en P.
La vitesse du solide en P est nulle.
T = 0,25 *9,8 *cos 57,4 = 1,32 N.
|
|
|
On �carte le pendule, fil
tendu, d'un nouvel angle q1 et on le l�che sans vitesse initiale. La
position du clou reste inchang�e. On mesure q2 = 47,8�.
5. Calculer q1 ( en � ).
L'�nergie
m�canique reste constante, en absence de frottement.
L'�nergie m�canique initiale est sous forme potentielle et vaut :
Em =mgL(1-cos q1).
L'�nergie m�canique en P est sous forme potentielle et vaut :
Em
=mgL'(1-cos q2).
L' = L -OA = 0,523-0,417 = 0,106 m.
mgL(1-cos q1) = mgL'(1-cos q2).
L(1-cos q1) =L'(1-cos
q2).
1-cos q1) =L'
/ L(1-cos q2).
cos q1 =1-L' / L(1-cos q2) = 1-0,106 / 0,523 (1-cos47,8)=0,9334
; q1= 21,0.
|
|
|
|
Electron dans un champ �lectrique.
Les �lectrons sont �mis de la cathode C avec une vitesse n�gligeable.
Ils sont acc�l�r�s horizontalement entre A et C, sous l'action d'une
tension �lectrique U. Le poids des �lectrons est n�gligeable. On admet
que les �lectrons sont anim�s d'un mouvement rectiligne uniforme entre
les d�tecteurs D1 et D2. On note v la vitesse
correspondante.
On donne L = 8,40 m ; U peut varier de 0 � 15,0 MV. Masse d'un �lectron
m = 9,11 10-31 kg.
Pour U = 1,00 105
V, on mesue une dur�e Dt
= 51,1 ns pour que les �lectrons parcourent la distance L.
1.a. Montrer que
les �lectrons sont relativistes.
v = L / Dt = 8,40
/ (51,1 10-9) =1,64 108 m/s.
0,14 c = 0,14 *3,00 108 =4,2 107 m/s.
v �tant sup�rieure � 0,14 c, les �lectrons sont relativistes.
1.b.. Calculer
leur �nergie cin�tique ( en k eV ).
Ec = eU en joule ; Ec / e = U =1,00 105
eV = 100 keV.
On souhaite maintenant produire des �lectrons relativistes dont la
vitesse mesur�e entre les d�tecteurs est v = 0,985 c.
2. Calculer la valeur de la tension
U.
Ec = (g-1) mc2 = eU.
g=[1-v2/c2]-�
=(1-0,9852)-� = 5,795.
U = (g-1) mc2
/ e = 4,795 *9,11 10-31*9 1016 / (1,6 10-19)=2,46
106 V = 2,46 MV.
3. En d�duire
l'�nergie cin�tique de ces �lectrons ( en MeV).
Ec = eU =2,46 MeV.
4. Calculer la
longueur d'onde l
( en pm) associ�e � ces �lectrons.
p = gm v = h / l ; l
= h / ( gmv) ;
l
=6,63 10-34 / (5,795 *9,11 10-31 *0,985 *3 108)=
4,25 10-13 m =0,425 pm.
On acc�l�re ces �lectrons sous une tension U =
15,0 MV
5. Calculer la
dur�e Dt ( en ns)
du parcours L.
Ec = (g-1) mc2 = eU=
1,6 10-19 *15,0 106 =2,4 10-12 J
g = 1+2,4
10-12 / (mc2)=1+2,4 10-12 /
(9,11 10-31*9 1016)=30,27.
g=[1-v2/c2]-�
; 1/g2=1-v2/c2
; v2/c2 =1-
1/g2=1-1 / 30,272
= 0,99891 ; v = 0,99945 c ~3 108 m /s.
Dt
= 8,4 / (3 108) ~2,8 10-8 s = 28 ns.
|
|
