Mathématiques, Suites numériques

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2017.
10) On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et un+1=un+4 pour tout entier naturel,  alors u23=
A : 119
B : 85
C : 97
D : 111
Suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 4 : u23 = 5 +23 x4 = 97.

11) On considère la suite (un) définie par un =(-1)n x E(n/3) / (n2+n+1) , où E(x) désigne la partie entière de x, alors
A :
(un) n’est ni minorée, ni majorée.
B : 
(un) est minorée mais pas majorée.
C :
(un) est majorée mais pas minorée.
D : est bornée.
La présence de
(-1)n  élimine les propositions B et C.
Quand n devient grand, (un) , u2n tend vers zéro par valeur positive et u2n+1 tend vers zéro par valeur négative.

12. On considère une suite (un) arithmétique de raison 3 et une suite (vn) arithmétique de raison 2, alors la suite (wn) définie par wn=un+vn vn est
A : arithmétique de raison 6.
B : géométrique de raison 5.
C : arithmétique de raison .
D : arithmétique de raison 5.
un+1 =3+ un ;
vn =2 + vn ; wn =5 + vn +un.

13) On considère une suite géométrique (un) de raison 3 et une suite géométrique (vn) de raison 2, alors la suite
alors la suite (wn) définie par wn=un x vn vn est
A : géométrique de raison 6.
B : géométrique de raison 5.
C : géométrique de raison 9.
D : géométrique de raison 8.
un+1 =3 un ; vn+1 =2 vn ; wn =6  vn un

14) On considère une suite (un) géométrique de raison 3 et une suite (vn) géométrique de raison 2, alors la suite (wn) définie par wn = 0,5(un+vn) est
A : géométrique de raison 2,5.
B : arithmétique de raison2,5 .
C : arithmétique de raison 4,5.
D : ni arithmétique, ni géométrique.
un+1 =3 un ; vn+1 =2 vn ; wn =0,5(3un + 2vn).

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2016.
1. On considère la suite géométrique (un) de raison q=0,5 et u4=32. Alors pour tout n entier :
a. un = 32 +(n-4) / 2.
u4 = u0 x (0,5)4 =32 ;
un = u0 x (0,5)n =u0 x  (0,5)4 x0,5n-4 =32 x (0,5)n-4.
b. un = 32 x (0,5)n.
c. un = 32 x (0,5)n-4. Vrai.
d. un = 32 + (0,5)n-4.

2. On considère les deux suites (un) et (uv) définies par u0=5 ; un+1 = 0,25(3un+vn) et v0=5 ; vn+1 = (un+5vn)/6 . On admet que (un) converge vers l1 relet que (vn) converge vers l2 réel , alors :
a. l1=l2. Vrai.
b.
l1<l2.
c. l1>l2.
d. On ne dispose pas assez d'informations pour comparer l1 et l2.

3. On considère une suite (un) strictement croissante de premier terme u0 =2 et la suite (vn) définie pour tout n entier pa
 vn = -2 /(1-3un) . Alors la suite est (vn) :
a : monotone et croissante.
b : monotone et décroissante. Vrai.
c : non monotone
d : Aucune des 3 réponses précédentes n’est exacte.
vn =
-2 /(1-3un) ;  vn+1 =-2 /(1-3un+1)  ; un+1 >un entraîne 1-3un+1 <1-3un  entraîne 1/(1-3un+1 ) > 1 (1-3un  )
entraîne  : -2/(1-3un+1 ) < -2 (1-3un  )

On considère la suite (un) définie par u0=7 et un+1=f(un) pour tout n entier, où est la fonction définie sur [4 : +oo[ représentée ci-dessous :

4. La suite (un) est :
a : monotone et croissante.
b : monotone et décroissante. Vrai.
c : non monotone.
d : Aucune des 3 réponses précédentes n’est exacte.
u1 = f(u0) = f(7) ~3,33 ; u2 = f(u1) ~2,7 ;
u3 = f(u2) ~2,65 ; u4 = f(u3) ~2,55.

5. La suite (un):
a : converge vers 2.
b : diverge vers +oo.
c : converge vers -4.
d : converge vers l appartenant à [
2 ; +oo[. Vrai.





2015.
Soient (An) et (Bn) les suites définies pour n supérieur ou égal à 1 par :
50.  (Bn) est :
a. constante ; b. strictement décroissante. Vrai c. strictement croissante. d.non monotone.
Primitive de ln(x) :F= x (ln(x)-1) ; F(1) = -1 ; F(1/n) = -1/n (ln(n)+1) ; Bn = -1+1/n (ln(n)+1).

51 Pour tout n supérieur ou égal à 2, (Bn) est :
a. strictement négatif  Vrai ; b. strictement pôsitif ; c. nul ; d. Aucune des 3 réponses précédentes n'est exacte.

52. A1=
a. 1/4 ; b. 1/3  ; c. 1/2, Vrai ; d. 1.
Primitive de ln(x) / x ; on pose u = ln(x) ; u' = 1/x ;  primitive de u u' = ½u2 soit 0,5 (ln(x))2.
A1 = 0,5 (ln(e))2-(ln(1))2=0,5 x1-0=0,5.

53. A2=
a.1/4 ; b. 1/3 Vrai ; c. 1/2 ; d. 1.
On pose U = ln(x) ; U' = 1/x ; (ln(x)2 / x =U2U' ; primitive de U2U'  =U3 / 3 =( ln(x))3 / 3.
A2 =( ln(e))3 / 3 -( ln(1))3 / 3 = 1/3-0=1/3.

54. (An) est :
a. constante  ; b. strictement décroissante Vrai ; c. strictement croissante ; d. non monotone.

55.  (An)
a. converge Vrai ; b. diverge vers -oo  ; c. diverge vers +oo ; d. diverge sans limite.