Fonctions logarithme et exponentielle,concours ecole de Santé des armées

Fonctions logarithme et exponentielle, Concours Ecole de Santé des Armées
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2018.
QCM 1.
La fonction f définie sur R par f(x) = e^x+e^-x est :
A. Croissante sur ] -oo ; 0[ et décroissante sur [0 ; +oo[.
On dérive f ' (x) = e^x-e^-x= e^x( 1-e^-2x).
La dérivée est du signe de 1- e^-2x ; 1- e^-2x > 0 si e^-2x < 1 soit x > 0.

B. Croissante sur R.
C. décroissante sur ]-oo ; 0[ et croissante sur [0 ; +oo[. Vrai.
D. décroissante sur ]-oo ; -2[ et croissante sur [-2 ; +oo[

QCM 2.
Soit f la fonction f définie sur R par f(x) = 5exp(0,2x² +0,5x).
La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse zéro :
A. a pour équation y = 2,5x +5. Vrai.
On dérive f ' (x) =5(0,4x+0,5)exp(0,2x² +0,5x).
Coefficient de cette tangente a = f '(0) = 2,5.
La tangente passe au point de coordonnées ( 0 ; 5).
Equation de la tangente y = 2,5 x +5.

B. a pour équation y = 5x+10.
C. a pour équation y = 5x.
D. est parallèle à l'axe des abscisses.

QCM 3.
Les solutions de l'inéquation ln(-x+5) < ln(x+1) sont :
A. ] 2 ; +oo[.
-x+5 et x+1doivent être positifs : x < 5 et x > -1.
ln(-x+5) - ln(x+1) < 0 ; ln[(-x+5) /(x+1)] < ln(1).
(-x+5) / (x+1) < 1 ; -x+5 < x+1 ; 2 x >4 ; x > 2.
B. ]-oo ; 5[.
C. ]-1 ; 5 [
D. ]2 ; 5[. Vrai.

QCM 9.
Soit la fonction g définie sur IR par g(x)=(3-2x)e^-x . Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur IR par :
A. G(x) =(3x-x²)e^-x.
On dérive en posant u = 3x-x² et v = e^-x ; u' =3-2x ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(3-2x-3x+x²).
B. G(x) =(-3x+x²)e^-x.
On dérive en posant u = -3x+x² et v = e^-x ; u' = -3+2x ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(-3+2x+3x-x²).
C. G(x) =(2x-1)e^-x. Vrai.
On dérive en posant u = 2x-1 et v = e^-x ; u' = 2 ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(2-2x+1).
D. G(x) =(5-2x)e^-x.
On dérive en posant u = 5-2x et v = e^-x ; u' = -2 ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(-2+2x-5).

QCM 10.
L’ensemble des solutions de l’inéquation ( 3-x) ln(x) > 0 sont :
A. [1 ; 3 ]. Vrai.
x doit être positif.

B. ]0 ; 3 ]
C. ] -oo ; 3 ]
D. [1 ; +oo[.

QCM 11.
L'intégrale suivante est égale à :
A. 1.
B. 0,5.
C. e / (2(1+e)).
D. ln[(1+e) / 2]. Vrai.

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2015.
QCM 4.L’équation : exp(x²−2x) =1 / e admet, dans R, pour ensemble de solutions :
A. aucune solution;
B. {1} vrai.
C. {1 ; 2}
D. {0 ; 2}
x²−2x = -1 ; x²−2x +1=0 ; (x-1)² = 0 ; x = 1.

QCM 5 :
L’inéquation : exp(1−x /5) >1 admet, dans R, pour ensemble de solutions :
A. ]−∞; 5[ vrai.
B. ]0 ; 5[
C. ]−∞; 0[
D. ]1/5 ; +∞[
Par croissance de la fonction logarithme népérien :
1-x / 5 > ln (1) ; 1-x / 5 >0 ; x / 5 <1 ; x <5.

QCM 6 :
La limite de x² −x ln(x) quand x tend vers +∞ vaut :
A. −∞
B. +∞ vrai.
C. 0
D. n’existe pas.
x² (1-ln(x) / x ).
Au voisinage de l'infini : ln(x) / x tend vers zéro ; 1-ln(x) / x tend vers 1.
Par produit des limites x² (1-ln(x) / x ) tend vers l'infini.

QCM 7 :
Le nombre de solutions de l’équation définie sur R+* : 2(lnx)² +3lnx −5 = 0 est :
A. 0
B. 1
C. 2, vrai.
D. 3
On pose X = ln(x) ; 2X²+3X-5 = 0 ; discriminant D = 3²+4 x2x5 =49 ; D^½ = 7.
X₁ = (-3 +7) / 4 = 1 soit x = e.
X₁ = (-3 -7) / 4 = -2,5 soit x = e^-2,5.

QCM 8 :
La fonction h définie sur R par h(x) = ln(4+x²) est dérivable sur R.
Sa dérivée est la fonction h′ définie sur R par h′(x) =
A. 1/(4+x²)
B. −2x/(4+x²)
C. x/(4+x²)
D. 2x/(4+x²). Vrai.
On pose u =4+x² ; u' = 2x ; h'(x) = u' / u = 2x/(4+x²).

QCM 9 : Une primitive de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) =2 /x +e^3x est :
A. F(x)= 2ln(3x)+1/3 e^3x. Vrai.
On dérive F(x) : 2 x3 /(3x)+3 / 3e^3x= f(x).
B. F(x)= −2 /x² +3e^3x. C'est la dérivée de f(x)
C. F(x) = 2ln(3x)+3e^3x. 3e^3xest la dérivée de e^3x.
D. F(x)= 2ln(x)+3e^2x. L'exposant de l'exponentielle diffère de trois.

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2014.
QCM 1 :
Soit la fonction h définie pour out réel x par h(x) = e^−x −x +4. Soit C la courbe représentative de h. :
A. h'(x) =e^-x-1. Faux.
h'(x) = -e^-x-1=-(e-x+1), toujours négative ; h(x) est strictement décroissante.
B. h admet un maximum. Faux.
C. C admet une asymptote horizontale. Faux.
Au voisinage de +oo, le terme en exponentielle tend vers zéro ; h(x) tend vers -oo.
Au voisinage de -oo, le terme en exponentielle l'emporte sur -x+4 et h(x) tend vers +oo..
D. L'équation h(x) =5 a une solution unique dans l'ensemble des réels. Vrai.
h(x) strictement décroissante et h(x) décrit R.

QCM 2 :
Dans l’ensemble des nombres réels, l’inéquation −2xe^−x+1 > 0 a pour ensemble de solutions :
A. aucune.
Le terme en exponentielle est positif.
-2x est positif ou nul pour x appartenant à ]-oo ; 0].
B. { 0 }
C. ]-oo ; 0 ]. Vrai.
D. [0 ; +oo[.

QCM 3 :
On considère l'intégrale I suivante.
On pourra, pour calculer I , utiliser la dérivée de la fonction h définie sur [1 ; e] par h(t ) = t³[3ln(t )−1].
La valeur exacte de I est :
Calcul de h'(x) : on pose u = t³ et v = 3 ln(t)-1 ; u' = 3t² ; v' = 3 /t.
u'v+v'u =3t²(3ln(t)-1) +3t²=9t²ln(t).

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