Mathématiques, bac S Amérique du nord 2019.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

.
.
Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points)
Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à 10−3.
Une usine fabrique des tubes.
Partie A.
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
On s’intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.
1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et 1,65 millimètres.
a. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 1,5 et d’écart-type 0,07.
On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
P(X < 1,35) =0,01606 ; P(X < 1,65) =0,98394 ;
P(1,35 < X < 1,65) =0,98394-0,01606 =0,968. 
b. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note X1 la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire X1 suit une loi normale d’espérance 1,5 et d’écart-type σ1.
Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à 10−3 près de σ1 pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire Z définie par Z = (𝑋1−1,5) /𝜎1 qui suit la loi normale centrée réduite.)
P(1,35 < X1 < 1,65) =0,98 ;  P((1,35 −1,5)/𝜎1< Z < (1,65-−1,5)/𝜎1) =0,98 ;
P((-0,15)/𝜎1< Z < (0,15)/𝜎1) =0,98 ;
2 F(0,015 / 𝜎1)-1 =0,098  ; F(0,015 / 𝜎1)=0,01 ;
P(Z < 0,015 / 𝜎1 ) = 0,99 ; 0,015 / 𝜎1  =2,326 ; 𝜎1 =0,064.

2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle [298 ; 302]. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2 % de tubes non «conformes pour la longueur » est acceptable.
On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de 250 tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur ».
a. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur » dans un échantillon de 250 tubes.
n = 250 ; p = 0,02 ; n > 30 ; np = 250 x0,02 =5 > 5 ; n(1-p) = 250 x0,98 =245 > 5.
Les conditions sont requises pour définir un intervalle de fluctuation asymptotique.
1,96 ( p(1-p) / n)½ = 1,96 ( 0,02 x 0,98 / 250)½ =0,0173.
Intervalle de fluctuation [ 0,02-0,0173 ; 0,02 +0,0173) soit [0,002 ; 0,38 ].
b. Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
La  fréquence observée 10 / 250 = 0,04 n'appartient pas à cet intervalle. Il faut réviser la machine, au risque d'erreur de 5 %.
Partie B
Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent affecter l’épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que :
- 96 % des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme ;
- parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95 % ont une longueur conforme ;
- 3,6 % des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.
On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :
- 𝐸 : « l’épaisseur du tube est conforme » ;
- 𝐿 : « la longueur du tube est conforme ».
On modélise l’expérience aléatoire par un arbre pondéré.
1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
2. Montrer que la probabilité de l’événement 𝐿 est égale à 0,948.



Exercice 2 : Commun à tous les candidats (4 points)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct . Dans ce qui suit, 𝑧 désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Affirmation 1 : L’équation 𝑧−i=i(𝑧+1) a pour solution 𝑧=2½exp(i p /4). Faux.
z-i = z i +i ; z(1-i)= 2i ; z = 2i / (1-i) = 2i(1+i) / 2 = i(1+i) = -1 +i.
Module de z : [z| = 2½ ; z / |z| = -2½ / 2 + i 2½ / 2 = cos (3 p/4) + i sin (3 p/4) = exp(3 p/4).

Affirmation 2 : Pour tout réel 𝑥 ∈ ]−𝜋/2; 𝜋/2[ , le nombre complexe 1+e2i𝑥 admet pour forme exponentielle 2cos𝑥 e−i𝑥. Faux.
z=1+e2ix = 1 + cos(2x) + i sin(2x).
z =2 cos2(x)+i sin(2x) = 2 cos2(x)+2i cos(x) sin(x) = 2 cos(x) [ cos(x) + i sin(x)] = 2 cos(x) eix.

Affirmation 3 : Un point M d’affixe z tel que |𝑧−i|=|𝑧+1| appartient à la droite d’équation 𝑦=−𝑥. Vrai.
On pose z = x + iy ; |z-i| = [x2 + (y-1)2]½ =[x2 + y2 +1 -2y]½ ;
|z+1| = [y2 + (x+1)2]½ =[x2 + y2 +1 +2x]½ ;
[x2 + y2 +1 -2y] =[x2 + y2 +1 +2x] ; y = -x.

Affirmation 4 : L’équation 𝑧5+𝑧−i+1=0 admet une solution réelle. Faux.
Si cette équation admet une solution réelle z0 : 𝑧05+𝑧0+1= i.
L'expression écrite à gauche est réelle, celle écrite à droite est imaginaire. C'est absurde.



Exercice 3 : Commun à tous les candidats (6 points)
Partie A : établir une inégalité
Sur l’intervalle [0;+∞[ , on définit la fonction 𝑓 par 𝑓(𝑥)=𝑥−ln(𝑥+1).
1. Étudier le sens de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0;+∞[.
f '(x) = 1-1/(x+1) = x /(x+1), positive sur [0;+∞[.
f(x) est strictement croissante sur [0;+∞[.
2. En déduire que pour tout 𝑥∈[0;+∞[, ln (𝑥+1)≤𝑥.
f(0) = 0 -ln(1) = 0.
De plus f(x) est strictement croissante.
par suite f(x) > 0 ; ln (𝑥+1)≤𝑥.

Partie B : application à l’étude d’une suite
On pose 𝑢0=1 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1=𝑢𝑛−ln (1+𝑢𝑛). On admet que la suite de terme général 𝑢𝑛 est bien définie.
1. Calculer une valeur approchée à 10−3 près de 𝑢2.
u1 = u0 -ln(1+u0) = 1 - ln2 ~ 0,307
u2 = u1 -ln(1+u1) ~ 0,307 -ln1,307 ~0,039.
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛≥0.
Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est suposée vraie au rang p : 𝑢p ≥0.
up+1 =up - ln(1+up) ; or ln(1+up) < up ; donc up+1 > 0.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie quel que soit n.
b. Démontrer que la suite (𝑢𝑛) est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛≤ 1 .
un+1-un = - ln(1+un) avec n(1+un) >0 ; donc un+1 < un. La suite est décroissante.
c. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est convergente.
La suite est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.
3. On note 𝑙 la limite de la suite (𝑢𝑛) et on admet que 𝑙=𝑓(𝑙) où 𝑓 est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de 𝑙.
l = l-ln(1+l) ; ln(1+l) = 0 = ln(1)  ; l = 0.
4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel 𝑝 donné, permet de déterminer le plus petit rang N à partir duquel tous les termes de la suite (𝑢𝑛) sont inférieurs à 10−𝑝.
à U on affecte 1
à N on affecte 0
Tant que U > 10-p
  à U on affecte U-ln(1+U)
N = N+1
Fin tant que.
b. Déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 à partir duquel tous les termes de la suite (𝑢𝑛) sont inférieurs à 10−15 .
u0 = 1 ; u1 = 1 -ln(2) = 0,307 ; u2 = 0,307 -ln(1,307) = 3,9 10-2 ; u3 = 3,9 10-2 -ln(1,039) = 7,4 10-4 ;
u4 = 7,4 10-4 -ln(1+7,4 10-4) = 1,013 10-6 ; u5 = 1,013 10-6 -ln(1+1.013 10-6) = 5,131 10-13 ;
u6 = 5,131 10-13 -ln(1+5,131 10-13) = 1,58 10-17 ;
n = 6.


Exercice 4.4 points.
On relie les centres de chaque face d’un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).
1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
Les plans (ABC) et (KLM) sont parallèles.
Les droites (IN) et (AE) sont parallèles.
La droite (AE) est perpendiculaire au plan ( ABC).
Par conséquence la droite (IN) est perpendiculaire au plan ( ABC) et au plan ( KLM).
(IN) est donc perpendiculaire à toute droite du plan ( KLM)..
Dans la suite, on considère le repère orthonormé dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées (0,5 ; 0,5 ; 1)
2. a. Donner les coordonnées des vecteurs NC et ML.
C( 1 ; 1 ; 0) ; M( 0,5 ; 0 ; 0,5) ; L(0 ; 0,5 ; 0,5).
b. En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.

c. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).
-0,5 x +0,5 y  +d = 0.
N (0,5 ; 0,5 ; 1) appartient à ce plan : -0,5 *0,5 +0,5 *0,5  +d = 0 soit d =0.
-0,5 x +0,5 y = 0.
3. a. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (NJM) est : x − y + z = 1.
N(0,5 ; 0,5 ; 1)  ; M(0,5 ; 0 ; 0,5) ; J( 1 ; 0,5 ; 0,5).
Les coordonnées de ces points vérifient x − y + z = 1.
Une équation du plan ( NJM) zqt donc x − y + z = 1.
b. La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM) ? Justifier.
D( 0 ; 1 ; 0) ; F (1 ; 0 ; 1).

 c. Montrer que l’intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
Equation du plan (NCI) : -x +y = 0. (1)
Equation du plan (NJM) : x − y + z = 1 (2).
(1) donne x = y ; repport dans (2) : z = 1.
L'intersection de ces deux plans est une droite dont une représentation paramètrique est : x = t ; y = t ; z = 1 avec t réel.
Le point de coordonnées ( 0 ; 0 ; 1) appartient à cette droite ; il s'agit du point E.
Les coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite sont ( 1 ; 1 ; 0).
Le point N appartient à ces deux plans.
La droite (NE) est l'intersection de ces plans.


  

menu