Mathématiques, géométrie, Bac Asie 2022.

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Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points
A(−3 ; 1 ; 3), B(2 ; 2 ; 3), C(1 ; 7 ; −1), D(−4 ; 6 ; −1) et K(−3 ; 14 ; 14).
1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :
. b. Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

c. Calculer l’aire du rectangle ABCD.
AB =[52 +12 +02)½ =26½.
AD =[(-1)2 +52 +(-4)2)½ =42½.
Aire de ce  rectangle : (26 x42)½ =1092½ = (22 x273)½ = 2 *273½.
 2. a. Justifier que les points A, B et D définissent un plan.

Les points A, B et D ne sont pas alignés, donc ils définissent un plan.
 b. Montrer que le vecteur n de coordonnées (−2 ; 10 ; 13) est un vecteur normal au plan (ABD).

 c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABD).
-2x+10y+13z+d = 0.
B appartient à ce plan : -2*2+10*2+13*3+d=0 ; d = -55.
 -2x+10y+13z-55 = 0.
3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan (ABD) et qui passe par le point K.
Le vecteur n de coordonnées (2 ;-10 ; 13) est un vecteur directeur de cette droite.
x= -2t+xK = -2t-3.
y = 10t+yK=10t +14.
z = 13 t+zK = 13 t +14 avec t réel.
 b. Déterminer les coordonnées du point I, projeté orthogonal du point K sur le plan (ABD).
I appartient au plan (ABD) :
-2xI+10yI+13zI-55 = 0.
I appartient à la droite D :
xI = -2t-3 ; yI = 10t+14 ; zI =13 t+14.
-2(-2t-3) +10(10t+14)+13(13t+14)-55 = 0.
273 t +273 =0 ; t = -1.
xI =- 1 ; yI = 4 ; zI =1.
 c. Montrer que la hauteur de la pyramide KABCD de base ABCD et de sommet K vaut  273½.
KI =[(-1+3)2 +(4-14)2+(1-14)2]½ =(4+100+169)½ =273½.
 4. Calculer le volume V de la pyramide KABCD.
V= aire de la base rectangulaire ABCD x hauteur KI / 3.
V = 2 *273½* 273½ / 3 =2 *273 / 3=182 unités de volumes.

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Le solide ABCDEFGH est un cube.

B(3 ; 0 ; 0), D(0 ; 3 ; 0) et E(0 ; 0 ; 3).
On considère les points P(0; 0; 1), Q(0; 2; 3) et R(1; 0; 3).
 1. Placer les points P, Q et R sur la figure.

 2. Montrer que le triangle PQR est isocèle en R.
PR =[(1-0)2 +(0-0)2+(3-1)2]½ =5½.
QR =[(1-0)2 +(0-2)2+(3-3)2]½ =5½.
 3. Justifier que les points P, Q et R définissent un plan.
Les points P, Q et R ne sont pas alignés, donc ils définiqqent un plan.
 4. On s’intéresse à présent à la distance entre le point E et le plan (PQR).
 a. Montrer que le vecteur u de coordonnées (2 ; 1 ; −1) est normal au plan (PQR).

 b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQR).
2x+y-z+d=0.
P(0 ; 0 ; 1) appartient à ce plan : 0 +0-1+d=0 ; d = 1.
2x+y-z+1=0.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par le point E et orthogonale au plan (PQR).
Le vecteur u de coordonnées (2 ; 1 ; -1) est un vecteur directeur de cette droite.
x = 2 t +xE = 2t .
y = t+yE = t.
z = -t+zE = -t +3.
 d. Montrer que le point L( 2 /3 ; 1/ 3 ; 8 /3 ) est le projeté orthogonal du point E sur le plan (PQR).
Dans cette hypothèse :
 L appartient à la droite xL = 2t ; yL = t ; zL =-t+3
L appartient au plan (PQR) : 2xL +yL-zL+1=0.
2 *2t +t-(-t+3)+1=0.
6t =2 ; t = 1 /3
xL = 2 /3 ; yL =1/3 ; zL =-1/3+3= 8 /3.
e. Déterminer la distance entre le point E et le plan (PQR).
EL = [(2 /3 -0)2 +(1/3-0)2+(8/3-3)2]½ =[4 /9 +1 /9 +1/9]½ =(2 /3)½.

 5. En choisissant le triangle EQR comme base, montrer que le volume du tétraèdre EPQR est 2 / 3.
Hauteur EP = 2.
Base EQR : EQ x ER / 2 = 2 x1 / 2 = 1.
V = base x hauteur / 3 = 1x 2 / 3=2 /3.
 6. Trouver, à l’aide des deux questions précédentes, l’aire du triangle PQR.
V = aire triangle PQR x EL / 3 .
Aire de ce triangle = 3 V / EL = 2 x(3/2)½ = 6½.


  
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