Anatomie
d'un condensateur, bac Nlle Calédonie 2022.
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A. Détermination de la capacité d'un condensateur au polycarbonate.
On considère le circuit électrique suivant dans lequel le condensateur est initialement déchargé. E = 12 V.
A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K.
1. Recopier le schéma, indiquer le sens du courant d'intensité i, les tensions E, uR et uC.
2. Etablir la relation entre les tensions.
Additivité des tensions : E = uR + uC.
3. Exprimer la charge q en fonction de u C.
q = Cu C.
4. Montrer que l'équation différentielle du circuit est du C/dt +u C / t = E / t.
i = dq / dt =C duC/dt ; uR = Ri =RC duC/dt ;
E = RC duC/dt + uC.
On pose t = RC.
duC/dt +uC / t = E / t.
5. Proposer une dénomination de t et donner son unité.
t est la constante de temps ;
duC/dt s'exprime en V s-1. Donc uC / t s'exprime en V s-1 et t s'exprime en seconde.
6.1 On visualise uC en fonction du temps. Déterminer graphiquement t.
6.2 En déduire C. On donne R = 30 kW.
C = t / R =9 10-4 / (3 104) = 3 10-8 F.
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B. Anatomie de ce condensateur.
Le condensateur plan est constitué de 2 armatures planes de surface S séparées par un isolant d'épaisseur a.
Capacité de ce condensateur C0 = e S / a avec e = 2,57 10-11 F m-1 pour le polycarbonate.
1. Décrire l'influence des caractéristiques géométriques du condensateur plan sur sa capacité.
La
capacité est proportionnelle à la surface S et inversement
proportionnelle à l'épaisseur de l'isolant. C croït avec S et décroît
si a augmente.
L'anatomie d'un condensateur usuel montre un empilement d'armatures
métalliques avec isolant correspondant à une association en dérivation
de n condensateurs identiques de capacité C0.
La capacité de ce condensateur est C = n C0.
2.1. Etalir l'expression de C en fonction de h, L et e ainsi que de n.
S = h L.
L'épaisseur des armatures étant négligeable par rapport à l'épaisseur de l'isolant : e = n a.
C0 = e hL / a ; C = n C0 = n2 e hL / e.
2.2. C = 33 nF ± 2 % en déduire n.
L = 11,0 ±0,5 mm ; h = 9,0 ±0,5 mm ; e = 6,0 ±0,5 mm.
n2 = C e / (e hL).
En prenant L = 10,5 mm ; h = 8,5 mm ; e = 6,5 mm et C =33,66 nF:
n2 = 33,66 10-9 x6,5 10-3 /(2,57 10-11x 8,5 10-3 x10,5 10-3) =9,54 104 ; n ~309.
En prenant L = 11,5 mm ; h = 9,5 mm ; e = 5,5 mm et C =32,34 nF:
n2 = 32,34 10-9 x5,5 10-3 /(2,57 10-11x 9,5 10-3 x11,5 10-3) =6,33 104 ; n ~252.
2.3. Le fabriquant
indique que le condensateur étudié dans le circuit RC est
constitué de 300 armatures métalliques. Commenter.
Compte tenu des incertitudes sur les données, 300 appartient à [252 ; 309]. L'affirmation du fabricant est correcte.
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