Mise à température d'une lunette astronomique, observation de mars, bac centre étranger 2022.

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A. Distance maximale terre-mars permettant d'observer la calotte polaire Nord
La lunette est afocale. Elle est modélisée par deux lentilles convergentes L1 et L2.
On cherche à former l'image d'un objet situé à l'infini.
1. Donner le nom des deux lentilles.

 2. Représenter le faisceau issus du point Aoo délimité par les rayons 1 et 2 et émergent de la lunette. .


3. Représenter le faisceau issus du point Boo délimité par les rayons 3 et 4 et émergent de la lunette.
4. Faire apparaître l'angle a' sous lequel est vue l'image de l'objet à l'infini à travers la lunette ainsi que l'image intermédaire A1B1.

5. Justifier le terme "afocal".
Des rayons parallèles entre eux avant le système optique, ressortent parallèles après le système.

Visibilité de la calotte polaire.
6. Rappeler la définition du grossissement G.
G =a' / a.
7. Montrer que le grossissement peut se mettre sous la forme G = f '1 / f '2.
Triangle O1A1B1 : tan a ~a = A1B1 / O1F'1= A1B1 / f '1.
Triangle O2A1B1 : tan a' ~a' = A1B1 / O2F2= A1B1 / f '2.
Par suite : G = f '1 / f '2.
On note amini la valeur minimale de a pour que l'objet soit observable par un l'oeil  à l'aide de cette lunette.
 8. Exprimer amini en fonction de f '1, f '2 et q0.=2,7 10-4 rad, pouvoir séparateur de l'oeil. Vérifier que  amini =5,9 10-6 rad.
f '1 = 0,91 m ; f '2 = 0,020 m.
G = q0 / amini =f '1 / f '2.
c = A / 0,0875 =0,484 / 0,0875 =5,53 µmol / L.
amini= q0 f '2 / f '1 =2,7 10-4 x0,020 / 0,91 =5,9 10-6 rad.
9. La taille de la calotte polaire Nord de Mars a un diamètre d~103 km, donner un estimation, en km, de la distance maximale D entre Mars et la Terre permettant d'observer cette calottte.
   amini= d / D ; D = d / amini= 103 /(5,9 10-6) ~1,7 108 km.
La distance Terre-Mars varie entre 0,5 et 2,5 ua.
10. L'astronome pourra t-il observer cette calotte  avec sa lunette.
1 ua = 1,5 1011m = 1,5 108 km.
Distance minimale Terre-Mars : 0,5 x1,5 108 =7,5 107 km.
Distance maximale Terre-Mars : 2,5 x1,5 108 =3,75 108 km.
D étant comprise entre ces deux valeurs, la calotte est observable.

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 B. Mise en température avant observation.
La température de l'instrument ne doit pas s'écarter de la température de l'air extérieur de plus de 1°C.
L'astronome cherche à savoir si une durée de 2 heurs pour la mise en température de son instrument est suffisante pour limiter la turbulence instrumentale. A t = 0, il met la lunette en contact avec l'air extérieur et mesure sa température pendant 20 minutes à intervalles de temps régulier.
Puis il utilise une modélisation théorique pour prédire l'évolution de la température sur des durées plus longues.
q0 = 19,5 °C, température initiale de la lunette ; qe = 9,0°C, température de l'air extérieur.
11. Indiquer le sens du transfert thermique au cours du refroidissement de la lunette.
Transfert du corps chaud, la lunette, vers le corps froid, l'air extérieur.
12. Enoncer le premier principe de la thermodynalique.
DU = W + Q.
 Dans ce cas le travail W est nul.
13. Montrer que la varaition de température Dq de la lunette sur une petite durée Dt vérifie  :
C Dq = h S ( qe-q) Dt (1):
C : capacité thermique de la lunette.
Flux thermique F = hS( qe-q) = Q / Dt.
h : coefficient d'échange thermique ; S aire de la surface d'échange.
DU =C Dq .
DU / Dt =C Dq / Dt =hS( qe-q).
C Dq = h S ( qe-q) Dt
14. En déduire que la température de la lunette suit l'équation différentielle
dq(t) /dt +q(t) / t = qe / t (2).
On pose t = C / (hS ) exprimé en seconde.
C Dq / Dt= h S ( qe-q).
Dq / Dt= h S / C ( qe-q).
Dq / Dt = qe/ t -q / t.
Dq / Dt + q / t = qe/ t .
La solution de cette équation est de la forme : q(t) =A exp(-t /t) +B avec A et B des constantes.
  16. Quelle est la température finale de la lunette ?
qe = 9°C.
17. Exprimer A en fonction de q0 et qe..
q(t=0) =A exp(0) +B = A + B = q0.
Au bout d'un temps suffisamment long la lunette se trouve à la température qe.
qe= B = 9
Par suite A = q0 -qe = 10,5. .
Simulation. t = 1414 s.
Sur le graphique suivant, les points expérimentaux sont représentés par des + et le modèle théorique par la courbe en trait plein.

17. Discuter qualitativement l'accord du modèle théorique avec les résultats expérimentaux.
Les points expérimentaux coîncident avec le modèle théorique ; ce dernier est en accord avec les expériences.
18. Vérifier que la lunette peut être à température à t = 2 heures.
q(t = 7200 s) =10,5 exp(-7200 / 1414) +9 =6,4 10-2 +9 ~ 9 °C.

  
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