Mathématiques, géométrie, Bac centres étrangers 2022.
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L’espace est muni d’un repère orthonormé .
 On considère les points A(5 ; 0 ; −1), B(1 ; 4 ; −1), C(1; 0; 3), D(5; 4; 3) et E(10; 9; 8).
 1. a. Soit R le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur AB.
xR= (xA+xB) / 2 = (5+1) / 2=3.
yR= (yA+yB) / 2 = (0+4) / 2=2.
zR= (zA+zB) / 2 = (-1-1) / 2= -1.

 b. Ce vecteur AB est normal au plan P1 et E appartient à ce plan. Donner l'équation cartésienne de ce plan.
-4x +4y +d = 0.
R(3 ; 2 ; -1) appartient à ce plan :
-4*3+4*2+d= 0 ; d = 4.
-4x +4y +4 = 0 ou encore x-y-1=0.
c. Démontrer que le point E(10 ; 9 ; 8) appartient au plan P1 et que EA = EB.
xE-yE-1 =10-9-1 =0 est bien vérifiée, donc E appartient au plan P1.
EA= [(5-10)2+(0-9)2+(-1-8)2]½ =187½.
EB= [(1-10)2+(4-9)2+(-1-8)2]½ =187½.
2. On considère le plan P2 d’équation cartésienne x − z −2 = 0.
 a. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants.
Coordonnées d'un vecteur normal à P1 : (1 ; -1 ; 0).
Coordonnées d'un vecteur normal à P2 : (1 ;0 ; -1).
Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les deux plans ne sont pas parallèles.
 b. On note D la droite d’intersection de P1 et P2. Démontrer qu’une représentation paramétrique de cette droite  est :
 x = 2+ t  ; y = 1+ t ; z = t (t ∈ R).
Soit M(x, y z) un point de cette droite.
Si M appartient au plan P1 : 2+t-1-t-1=0 est vérifiée quel que soit t.
Si M appartient au plan P2 : 2+t-t-2=0 est vérifiée quel que soit t.
Donc
D est l’intersection de P1 et P2.
 3. On considère le plan P3 d’équation cartésienne y + z −3 = 0.
Justifier que la droite D est sécante au plan P3 en un point W dont on déterminera les coordonnées.
Si la droite D est sécante au plan P3 , alors :
1+t+t-3 =0 ; t =1.
Coordonnées de W : x = 2+t = 2+1 =3 ; y = 1+t = 1+1 = 2 ; z =t=1.
 Si S et T sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points M de l’espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans P1, P2 et P3 sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].
 4. a. Justifier que WA = WB = WC = WD.

WA =[22+(-2)2+(-2)2 ]½ =12½= 2*3½.
WB =[(-2)2+(-2)2+(-2)2 ]½ =12½= 2*3½.
WC =[(-2)2+(-2)2+22 ]½ =12½= 2*3½.
WD =[22+22+22 ]½ =12½= 2*3½.
 b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon
W est équidistant de A, B, C et D ; c'est le centre de la sphère de rayon 2*3½.

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L’espace est muni d’un repère orthonormé .
 On considère les points A(3 ; −2 ; 2), B(6 ; 1 ; 5), C(6 ; −2 ; −1) et D(0 ; 4 ; −1).
 On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : V = 1 /3 A ×h où A est l’aire de la base et h la hauteur correspondante.
1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
AB2 =32 +32+32 = 27.
AC2 =32 +02+(-3)2 = 18.
BC2 =02 +(-3)2+(-6)2 = 45.
BC2 =AB2 +AC2 ; le triangle ABC est rectangle en A.

b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
 
c. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.
Aire de la base = aire du triangle ABC = AB x AC / 2 = 27½ x18½ /2 =4,5 x 6½.
Hauteur AD =[(-3)2 +62 +(-3)2]½ =54½ =3 x6½.
Volume = 4,5 x 6½x 3 x6½ / 3 =27 unités de volume.
3. On considère le point H(5; 0; 1). a. Montrer qu’il existe des réels a et β tels que .

 b. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

 c. En déduire la distance du point A au plan (BCD).
AH = (22 +22 +(-1)2]½ =3.
 4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle BCD.
Aire du triangle BCD x AH / 3 = volume du tétraèdre ABCD.
Aire du triangle BCD = 3 x27 / 3=27 unités d'aire.


  
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