La mer morte en danger, exploitation des eaux, concours général SPCL 2021.

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De retour de ses vacances du Moyen-Orient, un élève de terminale a ramené un échantillon d’eau de la mer Morte et souhaite vérifier les caractéristiques de celle-ci. Il dispose pour cela sur sa paillasse :
- d’une balance de précision affichant une valeur à 0,1g ;
- d’une éprouvette de 100 mL graduée à 1 mL ;
- d’un bécher.
1. Proposer un protocole expérimental simple lui permettant de déterminer la masse volumique de l’échantillon d’eau de la mer Morte.
Placer l'éprouvette graduée sur la balance et appuyer sur "tare".
Verser 50 mL d'eau de cette mer dans l'éprouvette et relever l'indication de la balance. ( 60,5 g)
Diviser la masse lue sur la balance par le volume V = 50 mL
 2. Parmi les résultats obtenus suivants, indiquer celui que l’élève doit conserver :1,211 g cm-3 ; 1,21 g cm-3 ; 1,2 g cm-3 ;1 g cm-3.
dr / r = [(dm/m)2 +(dV/V)2]½ =[(0,1 /60,5)2 +(1/50)2]½ ~0,02.
dr =0,02 x1,21 ~ 0,024 ; r =1,21 ±0,02 g cm-3.

  L’élève souhaite maintenant comprendre la raison de la flottaison sur les eaux de la mer Morte sans avoir le moindre effort à faire. Il dispose pour cela des éléments suivants :
 - un poids ayant la forme d’un cylindre plein, de densité supérieure à celle de l’eau et de volume inconnu ;
 - un pied à coulisse permettant la mesure précise de longueurs ;
- un dynamomètre gradué à ,01 N ainsi que sa potence ;
- une éprouvette de 100 mL qui peut contenir le cylindre précédent ;
- une balance affichant une valeur à 0,1 g ;
- de l’eau de la mer Morte.
3. Proposer deux protocoles différents permettant de mesurer avec précision le volume du cylindre à l’aide du matériel présent. Soit VC = 10 mL le volume du cylindre ainsi obtenu.
Mesurer le diamètre et la hauteur du cylindre à l'aide du pied à coulisse.
V = pD2 / 4 H.
Verser 50 mL d'eau dans l'éprouvette graduée puis y introduire le cylindre. Faire la différence des 2 volumes lus.

Afin de déterminer la valeur de la poussée d’Archimède qui s’exerçait sur lui lors des baignades, l’élève propose de réaliser le montage ci-dessous :
4. Expliquer comment un tel montage permet de mesurer la valeur de la poussée d’Archimède s’exerçant sur le cylindre. Préciser notamment le protocole expérimental correspondant et représenter sur un schéma les forces exercées sur le cylindre.

Le dynamomètre affiche alors les valeurs suivantes : 0,67 N si le cylindre est hors de l’eau ;  0,55 N lorsque le cylindre est totalement immergé dans l’eau.
5. En déduire la valeur de la norme PA de la poussée d’Archimède s’exerçant sur le cylindre lorsque le cylindre est totalement immergé dans l’eau de la mer Morte.
PA = 0,67-0,55 =0,12 N.
 Une seconde mesure est réalisée pour le cylindre à moitié immergé.
6. Parmi les formules suivantes, indiquer, en justifiant votre réponse, l’expression correspondant à la poussée d’Archimède exercée sur un corps de volume immergé Vi dans un fluide de masse volumique r. :
rVi g vrai; 2r g / Vi ; ½Vi2g / r ; r(Vi/2)2g.
La poussée d'Archimède est égale au poids du volume d'eau déplacé. Poids = masse x g.
 7. Déterminer la valeur lue sur le dynamomètre pour le cylindre à moitié immergé dans l’eau de la mer morte.
Poids = 0,67 N ; Poussée = 0,06 N ; Indication lue = 0,67-0,06 = 0,61 N.
8. En modélisant le corps de l’élève par un cylindre dont vous estimerez un ordre de grandeur du rayon et de la hauteur, évaluer d’après la photo 1 le volume immergé de l’élève dans les eaux de la mer Morte.

Volume moyen du corps humain 73 L.
Volume immergé Vi ~60 L.
 9. En déduire la valeur de la poussée d’Archimède qui s’exerçait sur lui lors de ses baignades.
1,21 g cm-3 = 1,21 kg  / L ; poussée =1,21 x 60 x 9,8 ~7,1 102 N.
10.Comparer au poids estimé de l’élève et commenter.
masse = 75 x1 = 75 kg ; Poids = 73 x 9,8 =7,2 102 N.
Le poids et la poussée se compensent.
Chute d'une bille métallique lachée sans vitesse initiale dans une éprouvette remplie de cette eau.
L'élève décide d'étudier le modèle sur la chute d'une bille dans la glycérine.
Rayon de la bille : 5,0 mm ; masse volumique de la bille 7560 kg m-3.
Eprouvette de 500 mL ou l'on peut lire la graduation 242 mm entre 50 mL et 500 mL.
Période entre deux images 1 /50 s.
La position du centre de gravité de la bille est repérée par son abscisse z(t) sur un axe vertical descendant. L'action de l'eau est modélisée par une foce de frottement f  = 6prh v.
v : vitesse  ; r : rayon de la bille ; h viscosité dynamique du fluide.
ra : masse volumique de la bille ; rg : masse volumique du fluide la glycérine.
11. Faire un bilan des forces extérieures exercées sur la bille.

12. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par la vitesse s'écrit : dv/dt + v / t = (1-rg/ra) g.
  raVg -rgVg -6prh v. = mdv/dt.
raV = m ; dv/dt +6prh / m =g(1-rgV / m).
rgV / m=rg/ra ; dv/dt +6prh / m = (1-rg/ra) g.
On pose t =m /(6prh ).
 13. Donner l'unité de t et sa signification physique.
t est la constante de temps exprimée en seconde.
14. Déterminer l'expression de la vitesse en régime permanent.
dvlim /dt = 0 ; vlim = t (1-rg/ra) g.
Le pointage du centre de la bille avec un logiciel de traitement chronophotographuque permet d'obtenir un fichier texte :
temps(s)
 abscisse horizontale x (m)
 ordonnée z (m)
0,060
 8,269 E-2
 -3,556 E-1
0,080
 8,269 E-2 -3,451 E-1
0,100
 8,379 E-2 -3,330 E-1
0,120
 8,269 E-2 -3,192 E-1
0,140
 8,269 E-2 -2,889 E-1
Un programme Python permet d'exploiter ce fichier afin de calculer la vitesse de la bille.
42 vitesse = [(vitesse [i-1] +z[i] )*(t[i]-t[i-1]) for i in range (1 ; L) ]
43 vitesse = [(z[i] / t[i] for i in range (L-1)]
44 vitesse = [(z[i]-z[i-1]) / (t[i] -t[i-1] for i in range (1,L)]
45 vitesse = [(z[i+1]-z[i]) / (t[i+1] -t[i] for i in range (L-1)]
15. Parmi ces 4 lignes de calcul, préciser, en argumentant la réponse , celle(s) qui permette(nt) de calculer la vitesse.
On calcule la vitesse moyenne entre deux instants très proches en divisant une distance par une durée. Donc lignes 44 ou 45.
La courbe de la vitesse obtenue par le programme est tracée ci-dessous.
16. Qualifier chaque phase.


17. Associer à chaque phase le schéma A ou B.

A : les forces se compensent, la vitesse limite est atteinte.
18. Déterminer graphiquement vlim et t.
vlim  ( asymptotoe horizontale) : 0,95 m /s.
Intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote : t =0,1 s.
19. Déterminer la masse volumique de la glycérine.
vlim = t (1-rg/ra) g ; ra=7,56 g /cm3.
1-rg/ra=vlim / ( t g)=0,9 /(0,1 x9,8)~0,918.
rg/ra=1-0,918 = 0,0816 ; rg = 0,0,816 x7,56 ~0;62 g / cm3.
20. La masse volumique de la glycérine donnée dans les tables est 1,26 g / cm3 à 25°C. Conclure quant à la pertinence de cette méthode.
Ecart relatif : ~ 50%. Cette méthode est peu précise ( imprécision sur la vitesse limite déterminée graphiquement).
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 B. Exploitation des eaux de la mer Morte.
Sels minéraux de la mer Morte.
La salinité de cette mer est environ 8 fois supérieure à celles des autres mers, ce qui conduit à l'exploitation intensive par l'industrie chimique.
21. Indiquer la raison qui a porté à la production de matières premières telles que le chlorure de potassium, le dibrome ou le magnésium.
Les teneurs sont très supérieures à celles des autres mers :
Mg : 39,2 ( mer Morte) ; 1,27 ( autres mers).
 Br : 5 ( mer Morte) ; 0,07 ( autres mers).
Cl : 208 ( mer Morte) ; 20 ( autres mers).
K : 7 ( mer Morte) ; 0,4 ( autres mers).
On peut déterminer la teneur en ion bromure d'une eau en présence d'un excès d'ion chlorure.
- oxydation des ions bromure en ion bromate par ajout d'hypochlorite de sodium, dont l'excès est éliminé par ajout de formiate de sodium.
3ClO-aq +Br-aq = BrO3-aq +3Cl-aq (1)
- réduction des ions bromates en bromure par acidification et ajout d'iodure de potassium :
BrO3-aq +6I-aq +6H+aq = Br-aq +3I2aq +3H2O(l). (2).
- le titrage du diiode formé par une solution de thiosulfate de sodium. (3).
22. Ecrire cette dernière équation.
Réduction du diiode : I2aq +2e- =2I-aq
Oxydation de l'ion thiosulfate :  2S2O32-aq +2e- =S4O62-aq.
I2aq + 2S2O32-aq = 2I-aq +S4O62-aq (3).
23. Déterminer la constante d'équilibre à 25°C de la réaction (3) et commenter.
K = [I-aq]2 [S4O62-aq] / ([I2aq][S2O32-aq]2).
E°(I2aq / I-aq) = 0,54 V ; E°(S4O62-aq /S2O32-aq) = 0,09 V à 25°C .
0,03 ln K = E°(I2aq / I-aq) -E°(S4O62-aq /S2O32-aq) = 0,54 -0,09 =0,45.
ln K = 0,45 / 0,03 =15 ; K = 3,26 106.
K est grande, la réaction est totale.
24. Indiquer la méthode de détection de l'équivalence de ce titrage.
En présence de diiode , l'empois d'amidon forme un complexe de couleur violet foncé ( couleur de la solution avant l'équivalence) ; après l'équivalence, toutes les espèces sont incolores. Un changement de teinte est observé à l'équivalence.
On dispose d'une eau de mer dont on cherche à déterminer la provenance.
V0 = 25,0 mL d'eau de mer est mélangé  avec 1 g de NaH2PO4 ( pour se placer en milieu tampon) et V1 = 5 mL d'une solution d'hypochlorite de sodium à 1 mol / L.. On porte à ébullition et après ajout de formiate de sodium, on laisse bouillir pendant 15 min.
Après refroidissement on ajoute 150 mL d'eau distillée, 1,0 g diodure de potassium, 25 mL d'acide sulfurique à 3,0 mol / L et une goutte de molybdate d'ammonium ( catalyseur).
On titre par une solution de thiosulfate de potassium Cthio = 0,010 mol / L. Véq = 10,70 ±0,05 mL.
25. Quel type de verrerie faut-il utiliser pour prélever le volume V0 et le volume V1 ?
Un volume précis V0 est mesuré à l'aide d'une pipette jaugée.
Un volume peu précis V1 est mesuré avec une éprouvette graduée.
On note nBr la quantité d'ion bromure contenue dans l'échantillon d'eau de mer.
26. Montrer que nBr = Cthio Véq / 6 et calculer sa valeur.
nthio = Cthio Véq ; (3) donne : nI2 = ½nthio .
(2) donne Nbromate = nI2 / 3 = Cthio Véq / 6.
(1) donne : nBr =Nbromate =Cthio Véq / 6 =0,010 x 10,70 / 6 =1,78 10-2 mmol.
27. Vérifier que les ions hypochlorite et iodure ont été introduits en excès.
nhypochlorite = 5 mmol ; nBr / 1 = 1,78 10-2 ; nhypochlorite / 3 =1,67 mmol ( en excès).
niodure = 1,0 / M(KI) =1,0 /166 =0,0060 mol = 6,0 mmol.
niodure / 6 =1,0 mmol > nBr.
28. En déduire la concentration en masse en ion bromure de cette eau. ( incertitude type associée 0,003 g / L). D'où provient cette eau.
nBr M(Br) =1,78 10-2 x79,9 =1,42 mg dans 25 mL soit 56,89 mg / L.
0,057 ±0,003 g / L. ( provenance : autres mers).

 Industrie du brome.
Synthèse du dibrome.
 La saumure est chauffée à 100°C et on ajoute du dichlore gazeux pour oxyder les ions bromures :
Cl2(g) + 2 Br-aq = 2Cl-aq + Br2(g).
29. Justifier qu'il est possible et simple de séparer le dichlore de l'eau et du dibrome dans le condenseur.
Température d'ébullition : Cl2 : -34,6 °C ; Br2 58,8 °C et H2O 100 °C sous 1 bar.
Seul le dichlore est gazeux à une température voisine de quelques degés °C.
30. Justifier que l'eau et le dibrome liquide sont peu miscibles.
L'eau est une espèce polaire ; le dibrome n'est pas polaire et a donc peu d'affinité pour l'eau.
Le dibrome contient des traces de dichlore et d'eau. Il est purifier par distillation pour éliminer le dichlore puis séché pour éliminer l'eau.
Lors du mélange du dichlore et du dibrome, il s'établit un équilibre :
Cl2 +Br2 = 2BrCl.
Composition atomique en dibrome : zBr2 = xBr2 + 0,5 xBrCl avec xi fraction molaire de l'espèce i.
Composition atomique en dichlore : zCl2 = xCl2 + 0,5 xBrCl .
31.Montrer que zCl2 =1- zBr2 .
Additionner les deux relations : zBr2 +zCl2 = xBr2 +xCl2+xBrCl =1
zCl2 =1- zBr2.
32. Justifier que si la fraction molaire en dibrome tend vers 1, alors la composition atomique en dibrome tend vers1.
Si xBr2 tend vers 1 : zCl2 et xBrCl tendent vers zéro.
zBr2 tend vers xBr2 =1.
33. Justifier que les compositions atomiques sont indépendantes de l'avancement de la réaction de formation de BrCl. Conclure sur l'intérêt d'utiliser la composition atomique plutôt que la fraction molaire.
On donne le diagramme d'équilibre liquide-vapeur du mélange Cl2-Br2 à la pression atmosphérique.
34. Déterminer la température pour laquelle les fractions molaires en dichlore et dibrome en phase vapeur sont égales.
35. Nommer les deux courbes apparaissant sur le diagramme et identifier les phases en présence dans chaque domaine délimité par ces courbes.

36. Expliquer le principe d'une distillation fractionnée. Indiquer la température en tête de colonne si on souhaite récupérer le dichlore pur. Justifier que l'on obtient plutôt du dichlore " riche en dibrome".

Le liquide est chauffé lentement jusqu'à ébullition ( vaporisation du composé le plus volatil ) Ces vapeurs se condensent sur la surface interne de la colonne ( les aiguilles de la colonne de Vigreux). Ce liquide est chauffé progressivement par les autres vapeurs montantes jusqu'à être à nouveau vaporisées. Ces vapeurs sont plus concentrées en composant le plus volatil.
Chaque cycle de vaporisation condensation dans la colonne conduit à une augmentation de la concentration en composé le plus volatil.
Température en tête de colonne si on souhaite récupérer le dichlore pur : 240 K.
37. Représenter le schéma du montage permettant de réaliser une distillation fractionnée au laboratoire.

La distillation fractionnée permet de séparer les constituants d'un mélange liquide- liquide miscibles, possédant des températures d'ébullition différentes. Le constituant le plus volatil distille en premier ; la séparation est d'autant plus facile que les températures d'ébullition sont différentes.

  
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