Pasteurisation du lait, étamage d'une cuve en cuivre, concours CAPLP maths sciences 2022

Partie B : Pasteurisation.
La pasteurisation du lait avant la mise en bouteille se fait dans une cuve en cuivre. Le contrôle de la température se fait à l’aide d’un dispositif électronique basé sur une thermistance .
Partie B-1 : La thermistance.
22. Donner une brève définition d’une thermistance.
Une thermistance est un composant électronique dant la résistance varie en fonction de la température.
On donne l’équation générale de la résistance d’une thermistance CTN :
R = R₀ exp(B(1 / T-1/T₀)).
T : température ambiante en K
T₀ : température de référence à 25 °C (soit 298 K)
R₀ : résistance à 25 °C
B : indice de sensibilité thermique
23. Donner la dimension de B. Une justification est attendue.
Le terme en exponentielle est sans dimension, donc B / T est sans dimension ; B est en kelvin.
24. Que signifie CTN ? Donner l'allure de l'évolution de la valeur de la résistance en fonction de la température pour une thermistance CTN.
CTN : coefficient de température négatif.

25. Proposer un protocole expérimental qui permet de représenter graphiquement cette évolution.
On utilise le montage en pont de Wheststone suivant :

On veut choisir judicieusement les résistanes R₁, R₂ et R₃ de manière à linéariser l'évolution de V en fonction de la température.
Pour linéariser la mesure, on impose V=0 pour q = 25°C, V = 1 V pour q = 50°C et V= 2 V pour q = 75°C.

Partie B 2 : La cuve en cuivre
B 2.1 Étude structurale.
Le cuivre pur cristallise dans le système cubique à faces centrées.
Le rayon d’un atome de cuivre est d’environ 130 pm.
26. Représenter la maille élémentaire du cuivre pur (vue en perspective cavalière ou en projection). Déterminer le nombre d’atomes par maille.

- Chaque atome situé au centre d'une face, donc commun à deux mailles compte pour ½ : il y a 6 faces soit 6*0,5 = 3 atomes.
- Chaque atome situé à un sommet, donc commun à huit mailles compte pour 1/8 : il y a huit sommets donc 8 /8= 1 atome.
27. En adoptant le modèle de sphères dures indéformables, déterminer la valeur de la masse volumique du cuivre. Comparer avec la valeur donnée 8960 kg m^-3 et critiquer.
Masse des 4 atomes de cuivre : m= 4 x M(Cu) / N_A =4 x0,0635 / (6,02 10²³) =4,2 10^-25 kg.
a = 4 x130 10^-12 /1,414 ~3,68 10^-10 m ; volume de la maille : V =(3,68 10^-10)³ ~4,97 10^-29 m³.
m / V =4,2 10^-25 / (4,97 10^-29)=8,4 10³ kg m^-3.
Ecart relatif avec la valeur donnée :(8,96 -8,4) / 8,96~0,06 ( 6 %).
Les entités de cuivre ne sont pas des sphères parfaites.
Par ailleurs, le cuivre peut former de nombreux alliages, par insertion ou substitution.

B 2.2 : Capacité thermique du cuivre.
28. Donner, en le justifiant, la fonction d’état adaptée à la transformation s’effectuant à la pression atmosphérique lors de l’étalonnage du calorimètre.
A pression constante, la fonction adaptée est l'enthalpie.
29. À l’aide des données numériques fournies, déterminer puis calculer la capacité thermique C_cdu calorimètre (incluant agitateur, thermistance et résistance chauffante).
Une masse me d’eau m_e=0,600 kg, de capacité thermique massique c_e=4 185 J kg^-1 K^-1 est introduite dans le calorimètre et une résistance chauffante (de résistance électrique r=230 ohms) y est immergée, sans être alimentée dans un premier temps. Après équilibre, la température de l’ensemble eau calorimètre est θ_i=23,2°C. La résistance chauffante est ensuite alimentée sous une différence de potentiel U=120 V et, au bout d’un temps Δt=9 min, la température de l’ensemble atteint la valeur d’équilibre θ_f=36,1°C. Les fuites thermiques sont négligées.
Energie électrique fournie : U I Dt =U² / r Dt = 120² /230 x9 x60=3,38 10⁴ J.
Energie reçue par l'eau et le calorimètre : (m_e c_e +C_c)(θ_f -θi)=(0,600 x4185+C_c) x12,9=3,24 10⁴ +12,9 C_c.
3,38 10⁴ =3,24 10⁴ +12,9 C_c; C_c ~109 J K^-1.
30. Déterminer puis calculer la capacité thermique massique du cuivre c_Cu.
Un échantillon parallélépipédique de cuivre de masse m_cu (aire de la section S=25 cm², épaisseur L=3 cm, masse volumique ρ _Cu=8960 kg m^-3) et de capacité thermique massique c_cu est introduit dans un four régulé en température où il atteint, après équilibre, la température θ₁=250°C. Cet échantillon est ensuite plongé le plus rapidement possible dans le calorimètre qui renferme toujours la même masse d’eau m_e à la température initiale θ_i (la résistance chauffante n’est plus alimentée) ; après fermeture, l’ensemble {calorimètre + eau + échantillon} atteint la température d’équilibre θ₂=43,8°C.
Masse de cuivre m = S L ρ _Cu=25 10^-4 x0,03 x8960 =0,672 kg.
Energie cédée par le cuivre : m c_cu (θ₂ -θ₁)=0,672 x(-206,2) c_cu = -138,56 c_cu J.
Energie gagnée par l'eau et le calorimètre : (m_e c_e +C_c)(θ₂ -θi)=(0,600 x4185+109) x20,6=5,4 10⁴ J.
Système adiabatique : 5,4 10⁴ -138,56 c_cu = 0 ; c_cu =3,9 10² J kg^-1 K^-1 .

B 2.3 : Corrosion du cuivre.
On étudie la corrosion de la cuve en cuivre à pH = 7 en milieu humide aéré.
31. Écrire la réaction pouvant s'effectuer entre le cuivre et le dioxygène dissous dans la solution aérée et calculer sa constante d'équilibre à 298 K. On choisira une écriture de la réaction telle que le coefficient stoechiométrique du dioxygène soit 1.
2Cu(s) = 2Cu²⁺aq + 4e^-. E°₁ = 0,34 V.
O₂(g) + 4H⁺ + 4e^- = 2H₂O(l). E°₂ = 1,23 V.
2Cu(s) +O₂(g) + 4H⁺ = 2Cu²⁺aq +2H₂O(l).
K = [Cu²⁺]²/ (P_O2[H⁺]⁴).
E₁ =E°₁ +0,06 / 4 log [Cu²⁺]².
E₂ = E°₂ +0,06 / 4 log (P_O2[H⁺]⁴).
A l'équilibre E₁ = E₂ : E°₁ +0,06 / 4 log [Cu²⁺]² = E°₂ +0,06 / 4 log (P_O2[H⁺]⁴).
E°₂ -E°₁ =0,06 / 4 log K.
log K =4(1,23-0,34) / 0,06 =59,3 ; K =2,15 10⁵⁹.
32. Déterminer la valeur du potentiel du couple O₂(g)/H₂O à pH = 7. Pourquoi parle t on de surtension cathodique ?
E₂ = E°₂ +0,06 / 4 log (P_O2[H⁺]⁴)= 1,23 -0,06 pH si P_O2= 1 bar.
E₂ =1,23 -0,06 x7 =0,81 V.
Pendant l'électrolyse, au voisinage de la cathode les cations disparaîssent ( réduction de ces derniers ) : leur concentration diminue fortement au contact de l'électrode. La loi de Nernst s'appliquant, le potentiel de l'électrode diminue. L'électrolyse ne peut se poursuivre avec une vitesse acceptable, qu'en augmentant la tension appliquée entre les électrodes : c'est ce que signifie surtension.
33. Définir et estimer le potentiel mixte de la solution aérée.

34. En fait, cette corrosion du cuivre est très lente. Que peut on en déduire sur les valeurs des courants cathodiques et anodiques ?
Les valeurs des courants cathodiques et anodiques sont très faibles.