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L'étude est menée dans le référentiel lié au sol, supposé galiléen.
Les forces de frottement sont dues à l'action de la neige sur les skis.
l'action du support se décompose en un composante N normale et une composante tangentielle T colinéaire et opposée à la vitesse.
Lorsque le solide ne glisse pas T < fs N avec fs coefficient de frottement statique.
Une fois le glissement amorcé T = fdN avec fd coefficient de frottement dynamique.
La surface enneigée est horizontale.
fs = 0,080 ; fd = 0,05.
F = F0-bv, force motrice avec F0 et b des constantes positives et v la vitesse.
M = 1,0 103 kg masse de l'équipage.
42 . Déterminer la valeur minimale de F0 permettant le démarrage du traîneau.
N = Mg = 1,0 103 x9,8 =9,8 103 N.
Au démarrage, le solide ne glisse pas encore v ~ 0 ; F = F0 = fsN.
F0 mini = 0,08 x9,8 103=784 ~7,8 102 N.
Quelques instants après le démarrage, la vitesse atteint une valeur quasiment constante v0 = 9,0 m /s. Cette vitesse est atteinte à 5 % près au bout d'une durée t1 = 5,0 s après le démarrage.
43. Exprimer b en fonction de M et t1. Calculer sa valeur.
La seconde loi de Newton écrite sur un axe horizontal donne :
Ma =F -T.
Mdv / dt =F0-bv-fdMg ;
dv / dt + b / M v = F0 / M-fd g.
Solution de l'équation différentielle sans second membre :
v = A exp( -b / M t) avec A une constante.
Solution particulière v = v0.
Solution générale : v = A exp( -b / M t) +v0.
A t =0, la vitesse initiale est nulle : A = -v0..
v = v0 [1- exp( -b / M t)].
L'écart relatif entre v(t) et son asymptote est de 5 % à la date t1.
(v0-v ) / v0=1-v / v0 =0,05 ;
exp( -b / M t1) = 0,05 ; -b / M t1 = ln(0,05)= -3.
b = 3 M / t1 =3 103 / 5 =600= 6,0 102 kg s-1.
44. Exprimer F0 en fonction de b, v0, fd, M et g. Calculer sa valeur.
Le mouvement étant devenu rectiligne uniforme sur un plan horizontal :
F =T ; F0-bv0=fd N ; F0-bv0=fd Mg ; F0 =fd Mg +bv0.
F0 =0,05 x1,0 103 x9,8 +600 x9,0 =5890 ~5,9 103 N.
45. 46 Calculer la valeur de la puissance maximale développée par le moteur.
Puissance = Force motrice maximale x vitesse.
Puissance = 5,9 103 x9,0 =5,3 104 W = 53 kW.
1 kW = 1,36 HP
53 x1,36 ~72 HP.
Cette valeur est en accord avec la puissance des moteurs de motoneige.
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Température de surface des inlandsis.