Le drone au service de l'agriculture, Concours g�n�ral STL 2022.

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En survolant une exploitation agricole, le drone apporte de nombreuses donn�es pour l’agriculteur et lui permet d’adapter au mieux les apports en arrosage, en engrais ou en produits phytosanitaires.
�tude simplifi�e de la cam�ra
Le drone DJI Phantom 4 Multispectral embarque � l’aide d’une nacelle un syst�me compos� de 6 cam�ras : une cam�ra RVB et cinq cam�ras monochromatiques, dont une proche des infrarouges. Un logiciel de traitement d’image permet ensuite la reconstitution de la cartographie globale de l’exploitation agricole survol�e.
La suite du sujet propose une �tude simplifi�e de ce syst�me.
Donn�es utiles :
- 6 capteurs CMOS
- 2,08 Mp x (1600 � 1300)
- Dimensions du capteur : 4,86 mm � 3,95 mm
- Distance focale f ’ = 5,74 mm
La cam�ra est situ�e sous le drone qui se d�place � une altitude moyenne H = 180 m.
En optique, on mod�lise la cam�ra par :
- Un diaphragme
- Un objectif constitu� d’une lentille mince convergente de distance focale f ’, fixe pour toute la dur�e du vol.
- Un capteur photosensible sur lequel se forme l’image de l’objet.
1. Pr�ciser le r�le du diaphragme.
Il s'agit d'un �l�ment m�canique plac� sur le trajet de la lumi�re qui conditionne la quantit� de lumi�re transmise ainsi que l'ouverture du syst�me.
2. Justifier que l’on peut consid�rer que l’image de la parcelle se forme dans le plan focal image de l’objectif.
L'altitude du drone est h = 180 m. La distance lentille-objet est de l'ordre de 180 m. La distance focale de la lentille est de quelques millim�tres. L'image d'un objet � l'infini se forme dans le plan focal image de la lentille.
3. Faire un sch�ma, sans souci d'�chelle, faisant figurer la parcelle, le diaphragme, la lentille convergente, le centre optique O et les foyers de la lentille ainsi que le capteur CMOS.
 Pour avoir la meilleure image, il faut placer le diaphragme contre la lentille ainsi elle est utilis�e dans les conditions de Gauss.

4. D�terminer les dimensions de la parcelle photographi�e � l'altitude h = 180 m. L'image se forme sur toute la surface du capteur.
Valeur absolue du grandissement :  f ' / H = 5,74 10-3/ 180 ~3,2 10-5.
Dimensions de la parcelle = dimensions du capteur / grandissement.
Dimensions du capteur : 4,86 mm � 3,95 mm.
Dimensions de la parcelle : 4,86 10-3 / (3,2 10-5 )~1,5 102 m ;
3,95 10-3  / (3,2 10-5 ) ~1,2 102 m.
5. Justifier la formule de la "r�solution au sol GSD " en supposant que GSD est la taille d'un objet AB dont l'image A'B' se forme sur un pixel.
GSD = H / 18,9 cm / pixel avec H = altitude = 180 m.
GSD = 180 / 18,9 = 9,5 cm / pixel.
2,08 MP  pour chaque capteur.
Surface d'un pixel : 3,95 x4,86  / (2,08 106)~9,2 10-6 mm2.
Dimension d'un pixel : racine carr�e (9,2 10-6) ~3,04 10-3 mm.
Taille de l'objet se formant sur un pixel :
3,04 10-3 / (3,2 10-5) ~95 mm ou 9,5 cm / pixel.

6. La dur�e du vol � vitesse maximale est d'environ 27 min et la fr�quence maximale des prises de vue est d'une image toutes les 4 s. D�terminer la surface totale du champ qui peut �tre photographi�e si les images sont mises c�t� � c�t� sans recouvrement.
27 x 60 = 1620 s soit 1620 / 4 = 405 images.
Surface du champ : 1,5 102 x1,2 102 x405 ~7,3 106 m2 ou 7,3 km2.
7. Comparer � la surface de travail maximale donn�e 0,63 km2 pour un taux de superposition lat�rale de 60 % et un taux de superposition avant de 80 %. Interpr�ter.
7,3 x(1-0,6) x (1-0,8) ~0,58 km2.
Ecart relatif : (0,63-0,58) / 0,63 ~0,08 (8 %).

Une utilisation d’engrais raisonn�e.
 La fertilisation azot�e peut �tre ma�tris�e et contr�l�e � l’aide du survol des parcelles agricoles par les drones.
�tude du capteur RVB et de la photo obtenue.
 Les images en couleurs du drone sont collect�es gr�ce au capteur RVB dans le domaine visible. La photographie ci-dessous est celle d’un champ de betteraves prise par le drone.

1. Donner la signification de l’acronyme RVB.
Rouge, Vert, Bleu.
 Les feuilles de betterave sont �clair�es par la lumi�re blanche du soleil.
2. Pr�ciser les couleurs absorb�es et transmises par les feuilles de betteraves.
Le bleu est absorb� ; le rouge et le vert sont transmis.
 3. Dans le codage RVB � 24 bits �, chaque couleur primaire est cod�e sur un octet, soit 8 bits. D�terminer le nombre de nuances de couleurs possible avec un codage � 24 bits �.
224=16 777 216 nuances.
4. Donner la signification du triplet (69 ; 38 ; 0).
Relier les valeurs num�riques des deux triplets au caract�re plut�t clair ou plut�t fonc� des pixels �tudi�s. Justifier. Conclure quant � la possibilit� de quantifier la quantit� de v�g�tation dans une zone analys�e gr�ce au caract�re claire ou fonc� du pixel.
Triplet (255 ; 255 ; 0) : teinte jaune tr�s clair
Triplet (69 ; 38 ; 0) : teinte brun assez fonc�e, peu de v�g�tation.
triplet (107 ; 109 ; 26) : teinte vert clair, quantit� importante de v�g�tation.

Exploitation du NDVI.
 Les photos du drone dans le domaine du visible sont difficilement exploitables pour d�finir la vigueur et la quantit� de la v�g�tation d’une parcelle. Pour �tablir la carte de pr�conisation d’azote, le logiciel calcule alors le NDVI (Normalized Difference Vegetation Index).
Sur la photo ci-dessous, � gauche une feuille de betterave sucri�re ne pr�sentant aucune carence, tandis qu’� droite la feuille pr�sente une carence notable en azote.

1. Identifier le(s) domaine(s) de travail des capteurs de la cam�ra mis en jeu dans la r�alisation de la carte de pr�conisation azot�e.
R : r�flectance des canaux rouge ; PIR : r�flectance des canaux dans le proche infrarouge.
NDVI = (PIR-R) / (PIR + R).
2. � partir de ces deux feuilles de betterave sucri�re, �tablir un sch�ma r�capitulatif des rayons re�us et refl�t�s par les feuilles, suivant qu’elles pr�sentent ou non des carences.
En d�duire si le NDVI sera sup�rieur ou inf�rieur pour la feuille carenc�e par rapport � la feuille en bon d�veloppement.
Lorsqu'une plante est en bonne sant� et en p�riode de d�veloppement, elle pratique la photosynth�se et la concentration en chlorophylle des feuilles est importante. La plante absorbe toutes les couleurs et r�fl�chit seulement le vert. Le NDVI se rapproche de 1.
En cas de carences ou lorsque la plante arrive � maturit� , elle absorbe toutes les couleurs sauf le jaune orang�. Le NDVI est faible, proche de 0,1.

L'apport d'engrais.
L’engrais couramment utilis� par les agriculteurs est l’ammonitrate. Cet engrais permet de pallier le manque d’ions nitrate NO3-(aq) (aussi appel� azote nitrique) et d’ions ammonium NH4+(aq) (azote ammoniacal) dans le sol. Cette partie aura pour objectif de d�terminer exp�rimentalement le pourcentage d’azote nitrique d’un engrais azot� et le comparer aux indications de l'�tiquette 16,7 % N nitrique et 16,8 % N ammoniacal.
Mode op�ratoire du dosage des ions nitrate :
Pr�paration de la solution � titrer, r�duction des ions nitrate NO3-(aq) :
On p�se � 0,01 g pr�s m engrais = 1,20 g d’engrais. Apr�s avoir broy�s les granul�s � l’aide d’un mortier, on introduit la poudre dans une fiole jaug�e de 250 mL que l’on compl�te avec de l’eau distill�e. On obtient la solution S0.
On p�se avec pr�cision m sel de Mohr= 7,85 g de sel de Mohr de formule Fe(NH4)2(SO4)2,6H2O que l’on dissout ensuite dans une fiole jaug�e de 100 mL en ajoutant de l’eau distill�e acidifi�e par de l’acide sulfurique. On obtient la solution S1 contenant des ions fer(II).
L’�quation simplifi�e de la r�action mod�lisant la dissolution du sel de Mohr dans l’eau est  la suivante :

Fe(NH4)2(SO4)2,6H2O -->
Fe2+(aq) + 2SO42−(aq) + 2NH4+ aq
Dans un erlenmeyer de 100 mL, on introduit :
- 20,0 mL de solution S0
- 20,0 mL de solution S1
- 10 mL d’acide sulfurique concentr�
La transformation chimique �tant lente, on porte � �bullition cette solution S pendant une quinzaine de minutes.
Titrage des ions fer(II) restant :
Une fois la solution S refroidie, on titre les ions Fe2+(aq) restants par une solution de permanganate de potassium KMnO4 � une concentration en quantit� de mati�re de (5,00 � 0,01)�10-2 mol�L-1. On proc�de � un premier titrage rapide puis � un deuxi�me titrage pr�cis (� 0,05 mL pr�s).
On obtient un volume �quivalent VE de 11,95 mL.
Donn�es :  Masse molaire mol�culaire du sel de Mohr : 392,13 g�mol-1.
1. Le titrage des ions nitrate dans l’engrais met en jeu deux r�actions successives.
Nommer ce type de titrage et expliquer pourquoi on ne peut pas titrer directement les ions nitrate par les ions permanganate.
Titrage par diff�rence :
Les ions nitrate de l'engrais r�agissent de fa�on totale avec les ions fer (II) de la solution de sel de Mohr.
Les ions Fe(II)  en exc�s sont ensuite titr�s par une solution de permanganate de potassium.
Les ions nitrate sont des oxydants qui ne peuvent r�agir qu'avec des r�ducteurs ( Fe2+ par exemple).
�tude de la r�duction des ions nitrate NO3-(aq) :
2. Les couples d’oxydo-r�duction mis en jeu lors de la transformation chimique prenant place dans l’erlenmeyer sont NO3-(aq) / NO(g) et Fe3+(aq) / Fe2+(aq). �crire l’�quation de la r�action mod�lisant la transformation chimique prenant place dans
l’erlenmeyer.
R�duction : NO3-(aq) +4H+aq + 3e- --> NO(g) +2H2O(l).
Oxydation : 
3 fois { Fe2+(aq) --> Fe3+(aq)+ e- }.
Ajouter et simplifier :
NO3-(aq) +4H+aq  +3 Fe2+(aq)--> NO(g) +2H2O(l) + 3 Fe3+(aq).

3. D�terminer la quantit� de mati�re d’ions Fe2+ dans la solution S1, puis la quantit� de mati�re d’ions Fe2+ initiale dans la solution S, not�e n Fe2+ initial.
m sel de Mohr/ M( sel de Mohr) = 7,85 /392,13 = 0,020 mol dans 100 mL de S1.
n Fe2+ initial =0,020 x20 / 100 =4,0 10-3 mol.
La transformation mod�lis�e par la r�action entre les ions nitrate et les ions Fe2+ �tant totale, �tablir la relation entre la quantit� de mati�re d’ions Fe2+ initiale, la quantit� de mati�re d’ions Fe2+ restante n Fe2+ restante et la quantit� de mati�re d’ions nitrate n nitrate r�ellement contenue dans la solution S.
n Fe2+ restante= n Fe2+ initial - 3 n nitrate.

 Dosage des ions fer (II) restant :
4.  �crire l’�quation de la r�action support du titrage des ions fer (II) Fe2+ par les ions permanganate MnO4-.
Le couple d’oxydo-r�duction du permanganate �tant MnO4(aq)/Mn2+(aq).
Oxydation : 5 fois { Fe2+(aq) --> Fe3+(aq)+ e- }.
R�duction : MnO4(aq)+ 8H+aq + 5 e- --> Mn2+(aq) +4H2O(l).
MnO4(aq)+ 8H+aq +5 Fe2+(aq) --> Mn2+(aq) +4H2O(l)+5Fe3+(aq).
5. D�crire le changement de couleur observ� au moment de l’�quivalence.
MnO4(aq) couleur violette ; les autres ions sont icolores ou faiblement color�.
Avant l'�quivalence,
MnO4(aq) est en exc�s, la solution est violette.
Apr�s l'�quivalence, MnO4(aq) est en d�faut, la solution est pratiquement incolore.
En exploitant la relation � l’�quivalence entre les quantit�s de mati�re nMnO4-  et n Fe2+ restante , montrer que la quantit� de mati�re d’ions nitrate dans la prise d’essai s’exprime au final par la relation suivante et calculer sa valeur :
nNO3-=(n Fe2+ initial - 5 nMnO4-) / 3.
A l'�quivalence : n Fe2+ restante =
5 nMnO4-.
n Fe2+ restante= n Fe2+ initial - 3 n nitrate.
 
5 nMnO4- = n Fe2+ initial - 3 n nitrate.
3 n nitrate = -5 nMnO4- + n Fe2+ initial .
n nitrate = (-5 nMnO4- + n Fe2+ initial) / 3.
nMnO4- = 5,00 10-2 x VE = 5,00 10-2 x 11,95 10-3=5,975 10-4 mol.
n nitrate =( 4 10-3 -5 x 5,975 10-4 ) / 3 = 3,375 10-4 mol dans 20 mL de S0.
 Soit  4,22 10-3 mol dans 250 mL ( dans 1,20 g d'engrais).

6. En d�duire le pourcentage massique d’ions nitrate dans les 1,2 g d’engrais. Conclure.
M(nitrate) = 14 +3 x16 = 62 g / mol.
m(nitrate) = 62 x 4,22 10-3 ~0,26 g.
0,26 / 1,2 x100 ~21,7 %.
Ecart relatif avec l'indiication de l'�tiquette : (21,7 -16,7) / 16,7 ~0,30 (30 %).

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Le mouvement du drone.
Le mouvement du drone Le drone DJI Phantom 4 Pro poss�de quatre moteurs identiques et une masse totale m = 1 487 g. L’acc�l�ration de pesanteur est �gale � g = 9,81 m�s-2. Le mouvement du drone est �tudi� dans le r�f�rentiel terrestre suppos� galil�en.
 D�collage du drone.
Lors de l’ascension, le drone s’�l�ve verticalement avec une vitesse ascensionnelle constante va = 6,0 m�s-1 jusqu’� une altitude h= 180 m.
 1. D�terminer la valeur du poids P du drone.
P = m g = 1,487 x 9,81 ~14,6N.
2. D�terminer la valeur minimale de la force ascensionnelle verticale F d�livr�e par chaque moteur afin que le drone puisse s’�lever jusqu’� l’altitude souhait�e.
La valeur minimale de F doit �tre �gale � la valeur du poids, soit pour chaque moteur : 14,6 / 4 ~3,65N.
3. D�terminer la dur�e de la phase ascensionnelle.
h / va =180 / 6,0 = 30 s.
Autonomie de la batterie.
4. Donner la signification de l’acronyme LiPo.
Lithium-Polym�re.
5. D�terminer l’�nergie maximale disponible dans la batterie de vol quand celle-ci est enti�rement charg�e.
Capacit� : 5 870 mAh ; tension : 15,2 V.
5,870 Ah soit 5,870 x3600 = 21 132 coulombs.
Energie maximale : 15,2 x 21 132 = 3,21 105 J.
La notice du drone pr�cise que la collecte des donn�es photographiques se fait � pendant un vol qui vide la batterie de 100% � 30% �.
6. Estimer la dur�e du vol si les quatre moteurs sont utilis�s � puissance maximale 35 W par moteur.
Energie utilis�e : 3,21 105 x 0,70 = 2,25 105 J.
Dur�e du vol : 2,25 105 / (4 x35) =1,6 103 s ou environ 27 minutes. ( en accord avec les donn�es).
7. D�terminer le temps n�cessaire � la recharge compl�te de la batterie.
Chargeur : tension 17,4 V ; puissance 100 V.
�nergie utilis�e / puissance du chargeur = 2,25 105 / 100 = 2,25 103 s ou environ 38 min.

Chute contr�l�e du drone.
Dans le r�f�rentiel terrestre suppos� galil�en, on mod�lise le drone par une sph�re de diam�tre �gale � 40 cm, de masse m et on �tudie le mouvement de son centre de masse O pendant la chute.
Lorsque la batterie est quasiment d�charg�e, le drone se met en mode stationnaire : sa vitesse dans le r�f�rentiel terrestre est nulle. Il r�duit alors la puissance de ses moteurs afin de r�aliser une chute verticale contr�l�e pour revenir au sol.
On consid�re que les forces qui influent sur son mouvement, en plus de son poids, sont la force ascensionnelle verticale des 4 moteurs ayant pour valeur F = 13 N et les frottements dans l’air mod�lis�s par une force f de valeur proportionnelle � la vitesse f = 0,7 v et de sens contraire � la vitesse.
1. Donner une raison pouvant expliquer l’int�r�t que peut avoir le drone � r�duire la puissance de ses moteurs.
Pour descendre, la force verticale ascendante des moteurs doit �tre inf�rieure au poids.
2. Repr�senter, sans souci d’�chelle, les forces qui s’exercent sur le drone.

3. En utilisant la deuxi�me loi de Newton montrer que l’�quation diff�rentielle mod�lisant la vitesse du drone au cours de sa chute peut s’�crire sous la forme : t dv / dt + v = V o� la vitesse est exprim�e en m.s-1 et le temps en s.
4. Exprimer V et t en fonction de k, m, g et F.
Ecrire la seconde loi de Newton selon un axe vertical orient� vers le bas :
-F -k v +mg = m dv / dt.
m / k dv / dt + v = (mg - F) / k.
 On pose t = m / k et V = (mg
- F) / k.
5. Expliquer ce que devient cette �quation diff�rentielle en r�gime permanent, et d�terminer la valeur de la vitesse atteinte par le drone en r�gime permanent. Conclure.
En r�gime permanent dv / dt = 0.
vlimite = V =(mg- F) / k =(1,487 x 9,81 -13) / (
7,0 10-1) = 2,7 m /s..
6.  Identifier et d�terminer la valeur du temps caract�ristique.
t = m / k =1,487 /
(7,0 10-1) =2,1  s.
La vitesse limite de chute est atteinte au bout de 5t soit environ 10 s.



  
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