Circuit RC,
 concours ENAC pilote 2019.

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On alimente un circuit constitué par l’association en série d’un conducteur ohmique, de résistance 𝑅, et d’un condensateur, de capacité 𝐶, par une source de tension en échelon  : 𝑢e(𝑡) = 𝐸 pour 𝑡 ≥ 0 et 0 sinon. Le symbole 𝑡 désigne le temps. On note 𝑖 l’intensité délivrée par le générateur.

  31.  Quelle est l’équation différentielle du premier ordre qui régit l’évolution de la tension 𝑢C (𝑡) aux bornes du condensateur pour 𝑡 ≥ 0 ?
Additivité des tensions : ue(t) = R i(t) + uC(t).
i(t) = dq(t) / dt = C duC(t) / dt.
ue(t) = R C duC(t) / dt + uC(t).
ue(t) / RC)= duC(t) / dt + uC(t) / (RC)..
Réponse A.
 
32. Comment s’écrit la tension 𝑢C (𝑡) en fonction du temps, solution de l’équation précédente, si, à l’instant initial (𝑡 = 0), la plaque qui reçoit algébriquement le courant porte une charge 𝑞(𝑡 = 0) = 𝑞0 = 𝐶𝑢C (0), où 𝑢C (0) = 𝑢C (𝑡 = 0) ?
Solution générale de l'équation différentielle sans second membre : uC(t) =A exp(-t / (RC)) avec A une constante.
Solution particulière de cette équation avec second membre : uCt) = E.
Solution générale de l'équation avec second membre : uC(t) =A exp(-t / (RC)) +E
A t=0, uC(0) = 0 ;
q0 / C =A+E soit A = q0 / C-E.
Par suite uC(t) =E[1- exp(-t / (RC))] +q0 / C exp(-t / (RC)).
Réponse C.

33. Que vaut la tension 𝑢C en régime établi (ou permanent) ?
Le terme en exponentielle tend vers zéro et uC(t) tend vers E.
Réponse D.

34. Quelle est l’évolution de l’intensité 𝑖(𝑡) du courant dans le circuit ?
i(t) = C duC(t) / dt.
duC(t) / dt = E / (RC) exp(-t / (RC)) - q0 / (RC2) exp(-t / (RC)).
i(t) =[ E / R -q0 / (RC)] exp(-t / (RC)).
Réponses A.

  35. On souhaite faire un bilan énergétique du circuit 𝑅𝐶. Pour cela, on rappelle que, selon la convention internationale issue de la thermodynamique, les échanges d’énergie sont algébriques : pour un système, une quantité d’énergie qui est effectivement reçue est comptée positivement alors qu’une quantité d’énergie effectivement perdue est comptée négativement. Quelle est, à l’issue du régime transitoire, l’expression de l’énergie électrique Ee reçue algébriquement par le circuit 𝑅𝐶 série de la part de la source de tension ?
Puissance délivrée par le générateur ( énergie délivrée par unité de temps) = E i(t)= E dq(t) / dt.
Energie reçue par le circuit : E dq(t) =E C duC(t) /dt)
Intégrer E C duC(t) /dt) entre zéro et +oo :
EC ( E-q0 / C ) = CE2-Eq0.
Réponses A.

36. .Donner, à l’issue du régime transitoire, l’expression de l’énergie EC reçue par le condensateur de la part de la source de tension et celle de l’énergie ER reçue par le résistor de la part de la source de tension.
EC = ½Cu2oo-½Cu20 =½CE2-½q02 /C.  Réponse A.
Repport dans l'expression précédente :
ER =CE2-Eq0 -½CE2+½q02 /C =½CE2-Eq0 +½q02 /C.  Réponse C.





  
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