Transitoire RLC,
 concours ENAC pilote 2020.

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Le condensateur d’un circuit 𝑅𝐿𝐶 série, de capacité 𝐶 = 20 μF, est mis en court-circuit par un interrupteur 𝐾 depuis une durée suffisamment longue pour que le régime soit établi (permanent). Le circuit est alimenté par une source de tension stationnaire idéale de force électromotrice 𝐸. On ouvre 𝐾 à un instant pris comme origine temporelle. La bobine du circuit possède une inductance 𝐿 = 50 mH. On note 𝑅 la résistance du résistor, 𝑖 l’intensité du courant électrique qui traverse la bobine, et 𝑢c, la tension aux bornes du condensateur

Lorsque 𝐾 est ouvert, le facteur de qualité du circuit vaut 𝑄 = 10. On note w0 la pulsation propre du circuit.
13. Calculer numériquement 𝑅.
A) 0,002 ohm ; B) 0,2 ohm. C) 5 ohms. Vrai.   D) 500 ohms.
LC w02 = 1 ; w0 = 1 /(LC)½ =1 /(0,05 x20 10-6)½ =103 rad /s.
Q = L w0 / R ; R = L w0 / Q =0,050 x 103 / 10 =5 ohms.

14.Que peut-on dire de la pseudo-pulsation w ?
On ouvre K : E = Ldi/dt +Ri + uc.
i = dq / dt = C duc / dt ;
di/ dt =C d2uc / dt2 ;
E =LC d2uc / dt2 +RCduc / dt + uc.
E /(LC) =d2uc / dt2 +R / L duc / dt + uc / (LC).
w0 = 1/(LC)½. Q = L w0 / R =(L / C)½ / R.
E w02 =d2uc / dt2 +w0 / Q duc / dt +w02 uc.
Equation caractéristique de l'équation différentielle sans second membre ::
r2 +w0 / Q r +w02 =E w02 .
Discriminant : D =(w0 / Q)2-4w02 = 4w02 (1/(4Q2)-1) < 0 car Q = 10.
Solutions de cette équation caractéristique :
-w0 / (2Q) ± j w0 (1/(4Q2)-1)½.
Pseudo-pulsation: w =(-D)½ / 2 = w0 (1-1/(4Q2))½.
Or 1/(4Q2) <<1 donc (1-1/(4Q2))½~1-1/(8Q2).
w ~w0 |1-1/(8Q2) ]. Réponse A.

  15. Que valent l’intensité 𝑖(0+) et la tension 𝑢c (0+) à l’instant 𝑡 = 0+ succédant immédiatement à l’ouverture de 𝐾 ?
A) 𝑖(0+)=0.  B) 𝑖(0+)=E / R. Vrai. C) 𝑢c (0+)=0  VraiD) 𝑢c (0+) = E.
A t < 0 : le régime permanent est établi.
La tension aux bornes de la bobine est nulle et E = Ri.
Par suite l'intensité i(t) étant une fonction continue 𝑖(0+)=E / R.
A t < 0 : la tension aux bornes du condensateur est nulle.
Par suite la tension uc(t) étant une fonction continue uc(0+)=0.

  16. La tension aux bornes du condensateur évolue selon 𝑢c (𝑡) = exp(-t / (2t)) [𝐴 cos(wt) + 𝐵 sin(w𝑡)]+ E, 𝐴, 𝐵 et t étant des constantes temporelles. Exprimer 𝐴 :
A) A = E ;  B) A = -E vraiC) A=0 ;  D) A = ½E.
𝑢c (0) =0 =A+E.

  17.  Exprimer 𝐵 :
i(t) =C duc / dt  = exp(-t / (2t)) [𝐴 cos(wt) + 𝐵 sin(w𝑡)] (-1/(2t))+exp(-t / (2t)) [-𝐴w sin(wt) + 𝐵w cos(w𝑡)].
i(t=0) = -A / (2t)+ 𝐵w  = E / R.
B = E /(Rw) +A / (2tw)=E /(Rw) -E / (2tw).

18.  On attend suffisamment longtemps que le régime s’établisse puis, à un instant pris comme nouvelle origine des temporelle, on ferme 𝐾. On retiendra, par convention, comme durée du régime transitoire, la durée nécessaire pour que 𝑖 atteigne 95 % de sa valeur finale (on indique que ln 20 ≈ 3). Déterminer la durée trt du régime transitoire succédant à la fermeture de 𝐾.
A) ~3L / R vrai B) ~3RC  C) ~30 ms vraiD) ~300 ­­µs.
En régime établi : uc= E et i = 0.
Fermeture de K : le condensateur se décharge très rapidement dans les fils ( maille de droite). La résistance de ces conducteurs étant très faible, t = rC ~0.
Puis on a un circuit RL : i(t=0) = 0.
Le courant s'établit avec une constante de temps t' = L / R = 0,050 / 5 = 0,01 s = 10 ms.
E = Ldi /dt + Ri.
E / L = di /dt +R / L i.
Solution de cette équation i = A exp(-t / t')+ E / R.
i(0) = 0 = A+E / R ; A = -E / R.
i(t) = E/R(1-exp(-t / t').
L'intensité atteint 95 % de sa valeur finale E / R à :
0,95 = 1-exp(-t / t') ; exp(-t / t') =0,05.
exp(-t / 0,01) = 0,05 ; t = -0,01 ln(0,05) = 0,01 ln20~0,01 x3 ~0,03 s ~30 ms soit 3 L / R).





  
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