Pendule magnétique,
 concours ENAC pilote 2020.

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Le référentiel du laboratoire est muni d’un repère cartésien. On réalise un pendule simple en suspendant une masselotte 𝐴 de masse m = 10 g, à une tige conductrice de masse négligeable devant m et de longueur L = OA = 40 cm. La dimension de la masselotte est négligeable devant L. La liaison pivot du pendule, en O, est supposée parfaite (sans frottement) et permet au pendule d’osciller dans le plan. La position de la tige est repérée par l’angle q, orienté dans le sens direct, qu’elle forme avec la verticale descendante. La continuité du circuit est assurée par un balai mettant la tige en contact en A avec un guide circulaire conducteur, lui-même relié à un condensateur de capacité C= 1 F. On néglige toute résistance électrique dans le circuit, ce dernier étant fermé en O. On note i(t)) l’intensité qui circule dans le circuit orienté comme indiqué sur la figure.

  Le balai glisse sans frotter sur le guide. Ce pendule est placé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire B = 1 T ሬሬሬ⃗ où Le pendule, initialement immobile et formant un angle q0 > 0 avec la verticale, est abandonné sans vitesse à l’instant 𝑡 = 0, le condensateur étant déchargé.
31. On note F le flux du champ magnétique à travers le circuit et F0 sa valeur particulière lorsque q = 0. En exprimant F en fonction notamment de F0 , déterminer à l’aide de la loi de Faraday la force électromotrice e induite dans le circuit lors du mouvement du pendule.
A) e  = -½L2Bq'. B) e=½L2Bq'. Vrai. C) e=L2Bq'D) e=0,25L2Bq'.
Surface du circuit = aire d'une portion de disque  + aire de la portion délimitée par le condensateur notée S0.
S =S0 +½(p/2-q)L2.
Flux : F = BS = B(S0 +½(p/2-q)L2).
Force électromotrice e = -dF /dt = -½BL2d(p/2-q) /dt = +½BL2dq /dt =½L2Bq'.

32. . Établir l’expression de l’intensité du courant électrique.
A) i = ½L2 B Cq'. B) i = ½L2 B Cq". Vrai. C) i = L2 B Cq'D) i = -L2 B Cq".
Tension aux bornes du condensateur u = e.
i = Cdu /dt =Cd(
½L2Bq') /dt =½CL2Bq".

  33.  Exprimer le moment en O des forces de Laplace qui s’exercent sur la tige OA..

Réponse D.

  34. L’équation du mouvement se met sous la forme suivante : q"̈+ w12 sin q = 0 où w1 est une constante temporelle. Déterminer w1.
Ecrire le théorème du moment cinétique :

Réponse C.
  35. On suppose q0 << 1. L’intensité du courant électrique obéit à l’équation suivante : d2i/dt2 +w22i = 0 où w2 est une constante temporelle. Déterminer w2 .
A) w2 = 0. B) w2=w1. Vrai. C) w2=2w1. D) w2w1.
sin q ~ q et q"̈+ w12 sin q = 0 s'écrit : q"̈+ w12  q = 0
Or q"̈+ w22 q = 0.

36. Calculer numériquement w1 :
A) ~1 rad/s. B) ~2,3 rad/s. vrai. C) ~5 rad/s. D) ~12 rad/s.
w12 =10 / [0,4(1+0,42 / 0,04)]=5 ; w1 ~2,3 rad / s.






  
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