Géométrie, Mathématiques, bac général Amérique du Nord 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère les points A(−1 ; 2 ; 5), B(3 ; 6 ; 3), C(3 ; 0 ; 9) et D(8 ; −3 ; −8).  On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.  1. ABC est un triangle : a. isocèle rectangle en A  vrai b. isocèle rectangle en B c. isocèle rectangle en C d. équilatéral. AB = [(3-(-1))2+(6-2)2+(3-5)2]½ =(16+16+4)½=6. BC = [(3-3)2+(0-6)2+(9-3)2]½ =(36+36)½=6*2½. AC = [(3-(-1))2+(0-2)2+(9-5)2]½ =(16+16+4)½=6. BC2 =AB2+AC2, le triangle est rectangle en A.  2. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : a. 2x + y + z −15 = 0 b. 9x −5y +3 = 0 c. 4x + y + z −21 = 0  vrai. d. 11x +5z −73 = 0. B appartient à ce plan : 2xB + yB + zB −15 =6+6+3-15= 0 est vérifié. C appartient à ce plan : 2xC + yC + zC −15 =6+0+9-15= 0 est vérifié. D appartient à ce plan : 2xD + yD + zD −15 =16-3-8-15= 0 n'est pas vérifié. B appartient à ce plan : 9xB -5yB  +3 =27-30+3= 0 est vérifié. C appartient à ce plan : 9xC -5 yC +3 =27+0+3= 0 n'est pas vérifié. B appartient à ce plan : 4xB + yB + zB −21 =12+6+3-21= 0 est vérifié. C appartient à ce plan : 4xC + yC + zC −21 =12+0+9-21= 0 est vérifié. D appartient à ce plan : 4xD + yD + zD −21 =32-3-8-21= 0 est  vérifié.  3. On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne x −2y −2z +15 = 0. On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). On peut affirmer que : a. H(−2 ; 17 ; 12) b. H(3 ; 7 ; 2) vrai c. H(3 ; 2 ; 7) d. H(−15 ; 1 ; −1). Coordonnées d'un vecteur normal à ce plan : ( 1 ; -2 ; -2). Equation paramétrique d'une droite perpendiculaire à ce plan passant par D : x = t+8 ; y = -2t-3 ; z = -2t-8 avec t réel. H appartient à cette droite et au plan : t+8 -2(-2t-3)-2(-2t-8)+15 =0. 9t +40=0 ; t = -45 / 9= -5. x =-5+8 =3 ; y =10-3 = 7 ; z = 10-8=2. 4. Soit la droite D de représentation paramétrique : x = 5+ t  ; y = 3− t ;  z = −1+3t , avec t réel. Les droites (BC) et D sont : a. confondues b. strictement parallèles c. sécantes d. non coplanaires. Vrai. Cordonnées du vecteur BC : (0 ; -6 ; 6) ; coordonnées d'un vecteur dircteur de la droite (BC) : (0 ; -1 ; 1). Equation paramétrique de la droite (BC) : x = xC = 3. y = -k +yC = -k ; z = k +zC = k+9. Ces deux droiites n'ayant pas des vecteurs directeurs colinéaires, elles ne sont pas parallèles. Sont-elles sécantes ? Si elles se coupent : 5+t = 3 ; t = -2 ; 3− t =-k  soit k = t-3 = -5. -1+3t = -6 différent de k+9 =4. Donc elles ne se coupent pas. 5. On considère le plan P d’équation cartésienne 2x − y +2z −6 = 0. On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne x −2y −2z +15 = 0. On peut affirmer que :  a. les plans P et (ABC) sont strictement parallèles  b. les plans P et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB). Vrai. c. les plans P et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AC) d. les plans P et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (BC). Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : (2 ; -1 ; 2). Coordonnées d'un vecteur normal au plan (ABC) : (1 ; -2 ; -2). Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les deux plans ne sont pas parallèles. Ils sont sécants. A appartient-il aux deux plans ? Si oui : 2xA-yA+2zA-6=-2-2+10-6=0 est vérifié. xA-2yA-2zA+15=-1-4-10+15=0. est vérifié. Donc A appartient aux deux plans. B appartient-il aux deux plans ? Si oui : 2xB-yB+2zB-6=6-6+6-6=0 est vérifié. xB-2yB-2zB+15= 3-12-6+15=0. est vérifié. Donc B appartient aux deux plans. ... .... Sujet 2. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité 1 cm, on considère les points D(3 ; 1 ; 5), E(3 ; −2 ; −1), F(−1 ; 2 ; 1), G(3 ; 2 ; −3).  1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants.  b. Justifier que les points E,F et G ne sont pas alignés. Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les points E, F et G ne sont pas alignés. 2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG). x = 4t+xF =4t-1. y = 0t+yF =2. z = -4t+zF =-4t+1 avec t réel. b. On appelle H le point de coordonnées (2 ; 2 ; −2). Vérifier que H est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG). H appartient-il à la droite (FG)? xH = =4t-1=2 ; t = 0,75. y = 2 = yH. z =-4t+1 = -3+1 = -2 =zH. Donc H appartient à la droite (FG). c. Montrer que l’aire du triangle EFG est égale à 12 cm2 . Aire = EH x FG / 2. EH = [(2-3)2 +(2-(-2))2 +(-2-(-1))2]½=18½ =3 *2½. FG = [(3-(-1))2 +(2-2)2 +(-3-(-1))2]½=32½= 4 x2½. 3 *2½x4 x2½ / 2 =12 cm2 .  3. a. Démontrer que le vecteur n de coordonnées  (2 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (EFG).  b. Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG) . 2x+y+2z+d=0. E appartient à ce plan :  2xE+yE+2zE+d=0. 2 x3 -2+2 x(-1) +d = 0 ; d = -2. 2x+y+2z-2=0. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par le point D et orthogonale au plan (EFG) . Le vecteur n (2 ; 1 ; 2) est un vecteur directeur de la droite (d) : Représentation paramétrique de cette droite : x = 2k+xD = 2 k+3. y = k+yD = k +1 ; z = 2k+zD = 2k +5 avec k réel.  d. On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG). À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point K. K appartient au plan (EFG) : 2xK+yK+2zK-2=0. K appartient à la droite (d) : xK =2k+3 ; yK = k+1 ; zK =2k+5. 2(2k+3) +k+1 +2(2k+5)-2=0 ; 9k +15=0 ; k = -15 / 9 = -5 / 3. xK =2k+3= -1 /3 ; yK = k+1= -2 /3 ; zK =2k+5 =5 /3.  4. a. Vérifier que la distance DK est égale à 5 cm.  KD = [(3-(-1/3))2 +(1-(-2/3))2 +(5-(5/3))2]½=(100 / 9 +25 / 9 +100 / 9)½=(225 / 9 )½ =15 / 3 = 5 cm. b. En déduire le volume du tétraèdre DEFG. Aire du triangle EFG x hauteur dK / 3 = 12 x5 / 3 = 20 cm3.

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