Suites, Mathématiques, bac général La Réunion 2023.

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Sujet 1.
On considère la suite (un) définie par u0 = 8 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (6un +2) / (un +5) .
 1. Calculer u1.
u1 = (6u0 +2) / (u0 +5) = 50 / 13.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par : f (x) =( 6x +2) / ( x +5) .
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = f (un).
 a. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +oo[.
On calcule f '(x) en posant u = 6x+2 et v = x+5 ; u' =6 ; v' =1.
(u'v-v'u) / v2 =(6x+30-6x-2) / (x+5)2 =28 / (x+5)2 .
f '(x) > 0 et f(x) est strictement croissante.
En déduire que pour tout réel x > 2, on a f (x) > 2.
f(2) =14 / 7 = 2.
f(x) étant strictement croissante sur ]0 ; +oo[, pour tout réel x > 2, on a f (x) > 2.
 b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un > 2.
Initialisation : u0 =8 , la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : un > 2 est supposée vraie.
f(un) > f(2) ; un+1 > 2.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie  pour tout entier naturel.
 3. On admet que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 −un = (2−un) (un +1) / ( un +5) .
 a. Démontrer que la suite (un) est décroissante.
(un +1) / ( un +5) est positif ; (2−un) est négatif.
 un+1 −un < 0, la suite est décroissante.
b. En déduire que la suite (un) est convergente.
La suite est décroissante et minorée par 2, donc elle converge.
4. On définit la suite (vn) pour tout entier naturel par : vn = (un −2) / ( un +1) .
 a. Calculer v0.
v0 = (u0 −2) / ( u0 +1)=6 /9 = 2 /3.
b. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 4 /7 .
vn+1 = (un+1 −2) / ( un+1 +1) =[(6un +2) / (un +5)-2] / [(6un +2) / (un +5)+1].
vn+1 =(4un-8) / (7 un+7)= 4 /7  (un −2) / ( un +1) = 4 / 7 un.
c. Déterminer, en justifiant, la limite de (vn). En déduire la limite de (un).
vn = v0 x(4 / 7)n.
0 < 4 /7 < 1 ; (4 / 7)n tend vers zéro si n devient très grand et vn tend vers zéro.
vn = (un −2) / ( un +1)  tend vers zéro.
Or un+1 > un-2 ; donc un-2 tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
un tend vers 2 ; limite de la suite l = 2.
5. On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2. Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
def  seuil(A)
n=0
u=8
while u > A :
u =(6*u+2)/(u+5)
n=n+1
return n
La calculatrice donne u14 = 2,000 79 ; c'est le premier terme inférieur à 2,001.
La valeur renvoyée est 14.

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 Sujet 2.
On considère la suite (un) définie par u0 = 3 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,5 un + 0,5 n +1.
A. QCM
1. La valeur de u2 est égale à :
 a. 11 /4 vrai ;  b. 13 /2 ;  c. 3,5  ;  d. 2,7.
u1 = 0,5 u0 + 0,5*0  +1 =2,5.
u2 = 0,5 u1 + 0,5 *1  +1 =2,75 =11 / 4.

2. La suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un −n est :
 a. arithmétique de raison 0,5 ;
 b. géométrique de raison 0,5 vrai ;
 c. constante ;
 d. ni arithmétique, ni géométrique.
vn+1 = un+1 −(n+1) ;
vn+1 =0,5 un + 0,5 n +1-n-1.
vn+1 =0,5 un -0,5 n=0,5(un-n) =0,5 vn.

3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python. n désigne un entier naturel non nul. On rappelle qu’en langage Python « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à n −1.
def terme (n)
 U=3
 for i in range(n) :
 . . . . . . . . . . . .
 return U
Pour que terme (n) renvoie la valeur de un, on peut compléter la ligne 4 par :
a. U = U/2 + (i+1)/2+1
 b. U = U/2 + n/2 + 1
 c. U = U/2 + (i−1)/2+1
 d. U = U/2 + i/2 + 1 vrai.
 Pour i = 0, on calcule u1 ; pour i = n-1, on calcule un.

Partie B
 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : n < un < n +3.
Initialisation : 0 < u0 < 3. la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité :  n < un < n +3 est supposé vrai.
0,5n < 0,5un < 0,5n +1,5.
0,5n+0,5 n < 0,5un +0,5 n< n +1,5.
0,5n+0,5 n+1  < 0,5un +0,5 n +1 < n +2,5.
n+1 < un+1 < n +2,5.
n+1 < un+1 < n+1 +3.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie  pour tout entier naturel.
2. En déduire la limite de la suite (un).
n < un ; quand n tend vers plus l'infini, un tend vers plus l'infini.
3. Déterminer la limite de la suite (un / n).
n < un < n +3.
1 < un / n < 1 +3 / n.
Quand n tend vers plus l'infini : 3 / n tend vers zéro ;
d'après le théorème des gendarmes, un / n tend vers 1.

  
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