Physique,
concours G2E ( G�ologie, Eau, Environnement )2022.
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A.
Ascension et chute d'un sac de sable.
Une grue soul�ve verticalement un sac de sable de
masse m = 200
kg sur une hauteur h = 10 m. On n�glige les frottements de l’air et on
choisira un axe vertical (Oz) ascendant, l’origine O �tant au niveau du
sol. On donne l’acc�l�ration de la pesanteur g = 9,8 m.s−2.
1.Calculer le
travail du poids au cours de l’ascension et commenter son signe.
Travail r�sistant du poids en mont�e : W = -m g h = -200 x9,8 x10 =
-1,96 104 ~ -2,0 104 J.
2. Arriv� � la
hauteur h, le c�ble de la grue se rompt. Le sac tombe alors en chute
libre avec une vitesse initiale suppos�e nulle. A l’aide du th�or�me de
l’�nergie cin�tique, d�terminer lavitesse v0 du sac assimil�
� un point mat�riel juste avant que celui-ci touche le sol. Faire
l’application num�rique.
Travail moteur du poids en descente = m g h.
�mv02-0= mgh ; v02=2gh ; v0
= (2gh)� =(2 x 10 x9,8)� =14 m /s.
3.
D�terminer la loi horaire de la vitesse v(t) du sac et en d�duire
l’expression de la dur�e de la chute libre puis sa valeur num�rique.
Selon l'axe vertical ascendant : acc�l�ration : a =
-g ;
vitesse v(t) = -gt ( la vitesse initiale �tant nulle).
t = |v| / g = 14 /9,8~1,4 s.
B. Mouvement pendulaire
d’un sac de sable.
Un sac de sable de masse m = 200 kg utilis� pour la construction de la
maison, assimil� � un point mat�riel M, est d�plac� par une grue gr�ce
� un treuil (voir sch�ma ci-dessous). On n�glige la masse du c�ble et
les frottements de l’air et on suppose que le syst�me se comporte comme
un pendule simple de longueur variable, le c�ble �tant enroul� sur le
treuil � vitesse constante. La longueur L du c�ble varie selon
l’�quation horaire : L(t) =L0 + kt. k< 0 correspond au
cas o� le sac remonte, k >0 correspond au cas o� le sac descend. On
se place dans une base polaire d’origine O. On souhaite �tablir
l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par q(𝑡) et commenter la solution
obtenue par analyse num�rique.
4. Donner les expressions des
vecteurs position, vitesse et acc�l�ration dans la base choisie en
fonction de 𝑘, L(𝑡), q et q'.
5. Reproduire le
sch�ma ci-dessus et y indiquer les forces s’exer�ant sur 𝑀.
6.
Exprimer la tension du c�ble en fonction de m, g, L(𝑡), q et q'

7. Dans le cadre
de petits mouvements (q
<< 1), montrer que l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par q(𝑡) se pr�sente sous la forme
canonique suivante :
q" +2k / L(t)q' + g/L(t)q=0.
sin q ~q radian ;
-g q = L q" +2kq' ; q" +2k / Lq' +g / L q= 0.
On donne ci-dessous l’allure de la courbe q(𝑡), obtenue apr�s r�solution
num�rique de l’�quation diff�rentielle pr�c�dente pour 𝑘= −1 𝑚.𝑠−1
(remont�e du sac de sable), q0
= 15�, L0 = 20 𝑚.

8. Calculer la tension du c�ble �
𝑡=0 𝑠.
T = mg cos q0 -L0
q'2
avec q'(t=0) = 0, la courbe
pr�sentant un maximum.
T = 200 x9,8 x cos15=1,9 103 N.
9. A quel instant
la tension du c�ble est-elle maximale ? Commenter.
L(t) =20 -t.
T = 1,96 103 cos q
-(20-t)q'2.
1,96 103 cos q doit �tre maximum et (20-t)q'2doit �tre minimum.
Soit q = 0 et (20 -t)q'2 le plus petit possible soit q' nul.
C. Isolation thermique par
double vitrage.
L’isolation thermique de la maison met en jeu des fen�tres � double
vitrage. On cherche ici � comparer l’efficacit� de l’isolation
thermique par simple et par double vitrage. On consid�re dans un
premier temps, une plaque de verre d’�paisseur e = 4 mm et de
conductivit� thermique lv
= 0,8 S.I. Les effets de bord seront n�glig�s et on fera une �tude
unidimensionnelle d’axe (Ox). La surface de la vitre perpendiculaire �
l’axe Ox est not�e S. On n�gligera les transferts conducto-convectifs �
la surface du verre. On se reportera � la figure ci-dessous � gauche.
On suppose T1 > T2.

10. Ecrire la loi
de Fourier dans la sym�trie du probl�me �tudi� en pr�cisant la
signification des diff�rentes grandeurs y intervenant. Interpr�ter le
signe figurant dans cette loi.
11.
Par analyse dimensionnelle, d�terminer l’unit� S.I. de la conductivit�
thermique.
12.
On se place en r�gime permanent. Exprimer le flux thermique F traversant la vitre en fonction
de la diff�rence de temp�rature D𝑇
de part et d’autre de la vitre, de lv
et des param�tres g�om�triques 𝑒 et 𝑆.
Le flux thermique � travers
une surface simple est : F
= lS (T1-T2)
/ e.
Flux en watt ; l conductivit�
thermique en W m-1 K-1; S :
surface en m2 ; T1-T2 diff�rence de
temp�rature en K ; e : �paisseur de la paroi en m. Le flux thermique va
du corps le plus chaud vers le corps froid.
13. Rappeler la
d�finition de la r�sistance thermique Rth d’un mat�riau et
pr�ciser son unit�.
Rth
= e / (lS)
exprim�e en K W-1.
La r�sistance thermique indique la capacit� de l'isolant � r�sister aux
variations de chaleur.
14.
Etablir l’expression de la r�sistance thermique Rth d’une
fen�tre simple vitrage en fonction de lv, e et 𝑆. Calculer 𝑅𝑡ℎ
pour 𝑆 = 4 m2.
Rth = 4 10-3 / ( 0,8 x4) = 1,25 10-3 K
W-1.
On s’int�resse maintenant � l’isolation par double vitrage � 4-16-4 �,
c’est � dire une vitre d’�paisseur 𝑒 = 4 mm, s�par�e par une couche
d’air sec d’�paisseur 𝑒’ = 16 mm d’une deuxi�me vitre d’�paisseur 𝑒 =
4 mm (voir figure ci-dessus � droite). La conductivit� de l’air sec
vaut l𝑎 = 0,025
S.I.
15. Montrer que la
r�sistance thermique R'𝑡ℎ du double vitrage se met sous la
forme :
R'th=Rth(2+a)
o� a est une constante �
exprimer en fonction de lv, l𝑎, 𝑒 et 𝑒’.
Conclure alors quant � l’efficacit� de cette technique d’isolation.
R'th = 2e / (lvS)
+e'/(laS) ; Rth =
e/(lvS) ;
R'th = e / (lvS) [ 2+ e' lv / (ela)].
De plus en plus de maisons sont �quip�es de verres autonettoyants
(bioclean de Saint-Gobain par exemple) comportant des particules de
dioxyde de titane TiO2 semi-conducteur. Une lumi�re de
longueur d’onde ad�quate permet d’arracher un �lectron � la couche
d’oxyde de titane (en le faisant passer de la bande de valence � la
bande de conduction). Ceci induit des ph�nom�nes r�dox � la surface du
TiO2 qui agit comme un catalyseur en d�gradant les
salissures pr�sentes sur le verre par production de radicaux hydroxyles.
La longueur d’onde maximale permettant d’arracher un �lectron est de
388 nm.
16. Rappeler les
deux mod�les de description de la lumi�re et pr�ciser lequel permet
d’expliquer l’existence d’une longueur d’onde maximale.
Mod�le ondulatoire ( il explique les ph�nom�nes de diffraction et
d'interf�rences) et mod�le corpusculaire ( quantification de l'�nergie
d'une onde).
17. Calculer, en
eV, l’�nergie minimale � fournir pour arracher un �lectron � la couche
d’oxyde de titane.
E = h c / l = 6,62 10-34
x 3 108 / (388 10-9) =5,12 10-19 J
(3,2 eV).
D Pompe � chaleur.
Pour maintenir la temp�rature de la maison constante, on utilise une
pompe � chaleur qui est une thermopompe � compression utilisant
l’ammoniac NH3 comme vapeur condensable (sch�ma ci-dessous).
Le cycle de transformations subi par le fluide est repr�sent� dans le
diagramme de Mollier. (pression P en bar, en ordonn�es et h enthalpie
massique en kJ.kg-1, en abscisses). Dans cette machine, le
fluide pris � l’�tat gazeux (vapeur juste saturante � la pression PA
et � la temp�rature q𝐴)
est comprim� de mani�re adiabatique jusqu’� l’�tat B (PB, q𝐵). Il est ensuite
refroidi puis enti�rement liqu�fi� � pression constante (�tat C
correspondant au liquide juste saturant, temp�rature qC) dans un radiateur
au contact de l’air de l’habitation. Il traverse ensuite un d�tendeur
o� il subit une d�tente isenthalpique qui ram�ne sa pression de PB
� PA. Il se trouve alors partiellement liqu�fi� (�tat D). Il
p�n�tre alors dans l’�vaporateur (source froide) et se vaporise
compl�tement � la pression PA jusqu’au point A.
L’�vaporateur et le radiateur ne poss�dent pas de parois mobiles. On se
place en r�gime permanent. Dans les diff�rents organes de la machine,
on n�gligera les variations d’�nergie potentielle de pesanteur et
d’�nergie cin�tique.
Les donn�es sont les suivantes :
Etat
|
P(bar)
|
q(�C)
|
h(kJ
kg-1)
|
A
|
3,5
|
-5
|
1760
|
B
|
15
|
|
1980
|
C
|
15
|
38
|
660
|
D
|
3,5
|
|
660
|

18. Rappeler la
d�finition de la pression de vapeur saturante.
Pression � laquelle la phase gazeuse d'une substance est en �quilibre
avec sa phase liquide ou solide � une temp�rature donn�e.
19. Donner la loi
de Laplace et rappeler ses conditions d’application. Calculer la
temp�rature qB au
point B.
Lors d'une transformation isentropique ( adiabatique r�versible) : Tg P1-g = constante.
TB x PB1-g=TA x PA1-g ; TB =TA x (PA/ PB)1-g =(273-5)x(3,5/ 15)1-1,33 ~ 433 K( 160 �C).
20.
Reproduire sur la copie le diagramme (P,h) et
indiquer o� se situe la courbe de ros�e ainsi que la courbe
d’�bullition. Pr�ciser l’�tat physique du syst�me dans les diff�rents
domaines. Quelle est la temp�rature qD
au point D ?

D�tente isenthalpique de C � D : la pression varie et la temp�rature ne
change pas.
21. Rappeler
l’expression du premier principe sous forme de bilan enthalpique pour
les fluides en �coulement permanent (appel� encore premier principe
pour les syst�mes ouverts ou encore � premier principe industriel �) en
pr�cisant la signification physique des diff�rents termes et appliquer
dans le contexte �tudi�.
La variation d'enthalpie d'un syst�me ouvert est �gale � la somme du
travail utile s'exer�ant sur les parois mobiles et de la chaleur
�chang�e avec l'ext�rieur.
22. D�terminer les
variations d’enthalpie du syst�me au sein de chaque organe de la pompe
� chaleur.
A --> B compresseur : 1980-1760=220 kJ.
B --> C radiateur : 660-1980=-1320 kJ.
C-->D d�tendeur : 660-660 = 0.
D --> A �vaporateur : 1760-660 =1100 kJ.
23. Sachant que le
maintien de la temp�rature dans la maison impose une puissance de
chauffage Pth=10 kW, d�terminer le d�bit massique Dm
d’ammoniac n�cessaire.
dt = -QBC / Pth=1320
/ 10 =132 s
Dm = masse (1 kg ) / dt = 1 / 132 =7,6 10-3 kg /
s.
24. Calculer sur
un cycle, la puissance m�canique Pm=dW / dt re�ue par le
fluide.
dW = 220 kJ ; dt = -QBC / Pth=1320 / 10 =132 s ; Pm
=220 /132~1,7 kW.
25. Expliquer �
partir d’un sch�ma o� l’on symbolisera la pompe � chaleur et les
sources de chaleur chaude et froide, les �changes d’�nergie Qc avec la
source chaude, Qf avec la source froide et W le travail �chang�.
Pr�ciser le signe de ses diff�rentes grandeurs.

26.
D�finir puis calculer l’efficacit� e de la pompe �
chaleur.
coefficient
d’efficacit� , not�e e, ( r�versibilit�) : gain / d�pense =|
chaleur c�d�eau local |divis�e par le travail re�u.
e = -Q c/ W = 1320 / 220 =6,0.
27.
Etablir l’in�galit� de Clausius.
La variation d'entropie est nulle sur un cycle : Qc/Tc
+ Qf / Tf + Scr�e = 0.
Dans le cas de l'irr�versibilit� : Scr�e > 0.
Dans le cas de la r�versibilit� : Scr�e
= 0.
Qc/Tc + Qf / Tf <
0.
28. Montrer que
l’efficacit� de la pompe � chaleur est inf�rieure � une valeur maximale
emax que l’on calculera.
Efficacit� maximale : chaleur c�d�e au local / travail re�u =Tc /
(Tc-Tf)
Temp�rature du local 19�C ou 292 K.
Temp�rature ext�rieure : -5 �C ou 268 K.
Efficacit� maximale =292 / 24~ 12.
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...
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....
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Etude du rendement
d'une �olienne.
La demande �nerg�tique domestique va augmenter suivant les pr�visions,
de 50 % d’ici � 2050. Ceci est li� � l’�lectrification croissante des
habitats (augmentation du nombre d’appareils �lectriques, mise en place
de bornes pour recharger les voitures �lectriques…). Il s’agit donc
d’augmenter la production d’�lectricit� en d�veloppant les diff�rentes
sources d’�lectricit� possibles dont l’�olien qui produit aujourd’hui
environ 6% de la consommation nationale. On s’int�resse dans cette
partie � l’�tude du rendement d’une �olienne. On rappelle qu’une
�olienne est un dispositif qui transforme l’�nergie cin�tique du vent
en �nergie m�canique, le plus souvent transform�e ensuite en �nergie
�lectrique. L’�olienne de surface S est situ�e � l’origine O d’un axe
Oz horizontal. La figure ci-dessous montre l’�coulement d’air de part
et d’autre de l’�olienne.

On note v1
et v2 la vitesse du vent en amont et en aval de l’�olienne.
On suppose �galement que la pression est �gale � la pression
atmosph�rique P0 sur ces deux surfaces S1 et S2.
On se place dans les conditions d’application de la relation de
Bernoulli. On note � la masse
volumique de l’air.
29. Rappeler la
relation de Bernoulli et ses hypoth�ses d’application.
Pour un �coulement incompressible, parfait et stationnaire :
expression du th�or�me de Bernoulli en r�gime
stationnaire : p + ��v2 + �gh = Cste.
On consid�re
une ligne de courant o� figure quatre points : A1 loin de
l’�olienne en amont, A'1 imm�diatement avant l’�olienne, A'2
imm�diatement apr�s et A2 loin de l’�olienne en aval.
30. Justifier, �
l’aide de la conservation du d�bit volumique qu’il ne peut y avoir de
discontinuit� de la vitesse au niveau de l’�olienne. On notera v cette
vitesse.
En A'1 : Q = S v'1 ; en A'1 : Q = S v'2
; la conservation du d�bit volumique conduit � v'1 =v'2
= v.
C’est donc une
discontinuit� de pression de part et d’autre de l’�olienne qui permet
son fonctionnement.
31. Ecrire la
relation de Bernoulli entre A1 et A′1 puis entre A2 et A′2. Pourquoi ne peut-on pas �crire
la relation de Bernoulli entre les points A′1 et A′2
?
Le vent �tant horizontal : P0 + ��v12
= P'1 +
��v2 .
P0
+ ��v 22 = P'2 + ��v2 .
Entre A'1 et A'2 se trouve l'�olienne, l'�nergie
de l'air n'est pas conserv�e.
32. En d�duire l’expression de la
diff�rence de pression P′1−P′2 en fonction de �, v1
et v2.
P′1−P′2
=��v12 -��v 22.
33. La force exerc�e par le vent sur
les p�les de l’�olienne vaut F = (P′1−P′2).S. En
d�duire la puissance P d�velopp�e par cette force sur les p�les.
F = ��S(v12-v22). P = F v =��S(v12-v22)
v.
34. On peut montrer que v =0,5 (v1
+ v2). En d�duire une nouvelle expression de P en fonction
de v1, v2, S et �.
P = 0,25�S(v12-v22)(v1 + v2).
On d�finit le
rendement r de l’�olienne comme le rapport entre la puissance P
pr�c�dente et la puissance de l’�nergie cin�tique du vent Pcin 1
(non perturb� par la pr�sence de l’�olienne, de vitesse v1,
de d�bit massique Dm,1 et traversant S) : r =P / Pcin1.
35. Exprimer
l’�nergie cin�tique �l�mentaire dEc,1 d’une particule de
fluide de vitesse v1 et de masse �l�mentaire dm.
dEc,1=�dm v12.
36. En d�duire
l’expression de Pcin1= dEc,1 / dt en fonction de Dm,1 et v1 puis en
fonction de v1, S et �.
Pcin1=�dm v12 /
dt ; Dm,1 = dm / dt ; Pcin1=�Dm,1 v12 .
Dm,1=�
S v1 ; Pcin1=��S v13 .
37. En d�duire que le rendement de l
‘�olienne s’�crit : r = �(1−x2)(1+x) avec x =v2/ v1.
P / Pcin 1
=0,25�S(v12-v22)(v1 + v2)
/ (��S v13 ) =�(v12-v22)(v1 + v2) / v13 .
r =�(1-x2)(1+x).
38. D�terminer la valeur xmax
conduisant au rendement maximal puis calculer le rendement maximal.
On d�rive r en posant u = 1-x2 et v = 1+x ; u' = -2x ; v' = 1.
u'v+v'u = -2x(1+x) +1-x2
=1-2x-3x2.
Solutions de 1-2x-3x2
=0.
Discriminant D
=4+12=16=42.
Solution positive retenue : (2-4)/(-6) =1 /3.
rmax =0,5(1-1/9) 4 /3 =0,59.
F. Etude d'une fibre
optique.
Gr�ce � sa simplicit� d’installation, sa discr�tion et sa fiabilit�, la
fibre optique appara�t de plus en plus dans les habitations pour la
transmission de donn�es num�riques. On �tudie ci-dessous une fibre
optique � � saut d’indice � constitu�e d’un coeur cylindrique en silice
de rayon a et d’indice n1, entour� d’une gaine en silicone
d’indice n2 et de rayon ext�rieur b. Les faces d’entr�e et
de sortie sont perpendiculaires au cylindre d’axe Oz form� par la
fibre. L’ensemble, en particulier la face d’entr�e, est en contact avec
l’air d’indice nair = 1,0.
On consid�re un rayon incident sur le coeur et contenu dans le plan Oxz
(voir figure ci-dessous). On note i l’angle d’incidence.

39. Quel est le
ph�nom�ne physique se produisant en I ? Quel est celui se produisant en
M ? Poursuivre sur votre copie le trac� du rayon lumineux dans la fibre.
En I : r�fraction ; en M : r�flexion totale.
40. Enoncer les
lois de la r�fraction de Snell-Descartes. On s’appuiera de m�me sur un
sch�ma d�finissant les diff�rentes grandeurs.
 Les trois rayons incident, r�fl�chi et
r�fract� sont dans le m�me plan ;
l'angle d'incidence i1 est �gal �
l'angle de r�flexion r. Les angles d'incidence
i1 et r�fract� i2 sont
reli�s par la relation : n1 sin
i1 = n2 sin
i2.
41. A quelles conditions un rayon lumineux subit-il une r�flexion
totale sur un dioptre s�parant un milieu incident d’indice n1 et un
milieu d’indice n2 ? Il est attendu une condition concernant les
indices optiques et une autre concernant l’angle d’incidence.
Lors du passage de la lumi�re d'un milieu d'indice n1 � un milieu d'indice n2 < n1, il existe un angle d'incidence limite ilim au dela duquel le rayon r�fract� n'existe plus : seul le rayon r�fl�chi existe. n1 sin
i1 = n2 sin i2 et
|sin i2| inf�rieur ou �gal �
1. n1 sin
ilim = n2 soit sin ilim = n2 /
n1 avec n2 < n1.
42. D�terminer en fonction en fonction de de 𝑛1 et 𝑛2 la condition
sur l’angle i pour que le rayon ait une propagation guid�e dans le
coeur ?
 en I, dioptre air/coeur :
nair sin qi
= n1 sin r ; sin qi
= n1 sin r
(1). en J, il y a r�flexion
totale : sin ilim = n2 /
n1 ; les angles i et r sont
compl�mentaires soit sin r = cos i. (1) donne : cos i = sin q / n1 ; sin q = n1 cos i ; sin qlim = n1 cos ilim ; q doit donc �tre inf�rieur � qlim. 43. On appelle ouverture num�rique du guide (O.N.) la quantit� O.N.= sin i𝑚𝑎𝑥 o� imax est la valeur maximale de l’angle i. Exprimer O.N. en fonction de n1 et n2.
O.N = sin qlim = n1 cos ilim.
De plus sin ilim =n2/n1.
cos2ilim = 1 -sin2ilim=1-(n2/n1)2.
O.N=n1[1-(n2/n1)2]� =(n12-n22)�.
44. Calculer imax et O.N. pour n1=1,456 et n2=1,410.
sin ilim =n2/n1 = 1,410 / 1,456=0,9684 ; ilim =75,6 �.
O.N = (1,4562-1,4102)�=0,363.
45. On consid�re dans cette question une fibre � gradient d’indice �
parabolique � : dans le coeur, l’indice varie suivant la loi
n(r)=(n1−(n1−n2)r2/ a2), r �tant la distance d’un point du coeur �
l’axe Oz. Tracer sch�matiquement et en justifiant, le rayon lumineux
dans le coeur. On pourra consid�rer le coeur comme un empilement de
couronnes concentriques d’indice lentement variable.
L'indice
de r�fraction varie progressivement du centre vers la surface
ext�rieure de la fibre. On peut mod�liser la fibre par un assemblage de
strates concentriques d'indice de r�fraction l�g�rement diff�rents :

Un
rayon lumineux se propage en ligne droite dans chaque strate, il subit
une r�fraction � chaque changement de strate. Quand son incidence est
trop �lev�e, il subit une r�flexion totale, ce qui lui permet de rester
dans la fibre, comme le montre la figure ci-dessous :

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