Les
oscillateurs de relaxation sont des syst�mes qui oscillent ind�finiment
et p�riodiquement entre
deux �tats d’�nergie diff�rente. Leur �volution n’est pas sinuso�dale
et n�cessite une source
ext�rieure d’�nergie. Dans ce probl�me nous �tudions des exemples
d’oscillateurs de relaxation
dans des contextes physiques tr�s diff�rents. Les exercices propos�s
sont compl�tement
ind�pendants.
1. La bascule � eau : un oscillateur de relaxation m�canique.
Le syst�me ci-dessous constitue un premier exemple d’oscillateur de relaxation. Un robinet alimente
r�guli�rement un r�cipient pos� sur le c�t� droit d’une balan�oire initialement inclin�e � gauche
(sch�ma A). Le poids de l’eau finit par faire basculer la planche (sch�ma B) et le r�cipient se d�verse
sur la droite (sch�ma C), puis remonte et retrouve sa position initiale A. Dans cet exercice nous
allons d�terminer � quelle condition un tel basculement est possible.

La bascule est constitu�e d’une planche rectangulaire homog�ne de masse M , de largeur L et de
longueur 3L . Cette planche est initialement inclin�e d’un angle
a par rapport � l’horizontale. Elle
peut pivoter sans frottement autour d’un axe horizontal
D parall�le � son petit c�t� et passant aux
2/3 de sa longueur (sch�ma ci-dessous). Le r�cipient a la forme d’un cube de c�t� L (ouvert sur le
haut et sur le c�t� droit). Sa masse est n�gligeable.
1.1 Exprimer le moment du poids de la planche par rapport � l’axe
D en fonction
de M, g, L et
a , dans la position A. On conviendra que l’axe
D est orient� vers le lecteur,
c'est-�-dire dans la direction ( X ) du sch�ma ci-dessous.

Cette valeur �tant positive, le poids fait tourner la planche dans le sens trigonom�trique direct.
On suppose pour l’instant que l’eau est mont�e jusqu’au bord droit du cube sans que la planche ne
pivote, comme indiqu� sur le sch�ma.
1.2. Exprimer la masse m
tot de l’eau contenue dans le r�cipient en fonction de sa masse
volumique
r , de L et de
a .
Aire de base =�L
2 tan
a
Volume d'eau V =
�L3 tan a.
Masse d'eau: mtot = � r L3 tan a.
1.3. Soit G le centre de masse de l’eau contenue dans le r�cipient � cet instant. D�finir G. On
ne demande pas de calculer explicitement ses coordonn�es.
On admet que dans le rep�re orthonorm� direct li� � la planche de la balan�oire
(voir sch�ma ci-dessus), les coordonn�es de G valent X
G=0, YG = L/3 ; ZG = L / 3 tan
a.
Le centre de masse d'un corps est un point imaginaire de r�f�rence situ� � la position moyenne de la masse du corps.
1.4. Exprimer en fonction de m
tot , g et
a les coordonn�es dans ce m�me rep�re du
vecteur P
eau
poids de l’eau dans le r�cipient. En d�duire le moment du poids
de l’eau par rapport � l’axe de rotation
1.5. En d�duire qu’une premi�re condition n�cessaire pour le basculement de la planche est
que
a < 45� . En donner une interpr�tation g�om�trique simple. Cette condition �tant
remplie, quelle est la valeur maximale M
max de la masse M de la planche qui autorise un
basculement au cours du remplissage du r�servoir ? Calculer M
max pour :
a= 30� ,
r=1,0 10
3 kg m
-3 et L =50 cm .
Le moment du poids de l'eau doit �tre n�gatif pour provoquer le basculement.
-cos
a + tan
a sin
a < 0 ;
cos a > sin2 a / cos a ; cos2 a > sin2 a ; a < 45� .
La valeur absolue moment du poids de l'eau doit de plus �tre sup�rieur au moment de la planche.
mtot g L / 3 ( cos a -tan a sin a) > Mg L / 2 cos a ;
mtot / 3 ( 1 -tan2 a ) > M / 2 ;
� r L3 tan a / 3 (1 -tan2 a ) > M / 2 ;
r L3 tan a / 3 ( 1 -tan2 a ) > M ;
1,0 103 x0,53 tan 30 / 3(1 -tan230) > M ; M < 16 kg.
2. Le geyser : un oscillateur de relaxation en thermodynamique.
Un geyser est constitu� d’une cavit� souterraine de volume V
situ�e approximativement � une profondeur h sous la surface
terrestre, � laquelle il est reli� par un conduit. Le tout est rempli
d’eau liquide, de masse volumique
r= 1,00 . kg / L suppos�e
ici ind�pendante de la temp�rature et de la pression. La
temp�rature de surface vaut T
0= 300 K et le gradient
g�othermique vaut
g=1,00� . C m
-1 (i.e. la temp�rature de la roche et de l’eau du geyser augmente
de 1�C lorsqu’on descend de 1 m�tre). La pression atmosph�rique vaut P
0=1,013 10
5 Pa. On
admet que la vapeur d’eau, m�me saturante, se comporte ici comme un gaz parfait. La masse
molaire de l’eau vaut M=18,0 g / mol.
2.1. Donner l’allure de la courbe de saturation associ�e � l’�quilibre liquide vapeur dans le
diagramme (P,V). Placer le point critique C' et les domaines d’existence du liquide, de la
vapeur, et du m�lange liquide vapeur. Repr�senter sur ce graphique une isotherme �
une temp�rature T inf�rieure � la temp�rature critique. Qu’appelle-t-on pression de
vapeur saturante � la temp�rature T ? Que vaut la pression de vapeur saturante de l’eau
� T =100 �C ?
La courbe en pointill�s est
appel�e courbe de saturation, lle se compose de 2
parties:
- courbe d'�bullition pour V<
VC'.
-courbe de ros�e pour
V>VC'.
Au point critique C' les deux
branches se raccordent.
La pression de vapeur saturante est la pression � laquelle la phase
gazeuse d'une substance est en �quilibre avec sa phase liquide �
une temp�rature donn�e. L
a pression de vapeur saturante de l’eau
� T =100 �C vaut 1,013 105 Pa.
2.2. Dans la suite on verra que h est de l’ordre de 200 m�tres. D�terminer la pression
correspondante P(h) dans la cavit�, l’eau dans le geyser �tant liquide et immobile. Si de
la vapeur se forme dans la cavit�, quel est son volume molaire v
G ? Comparer le volume
molaire v
L de l’eau liquide � celui du gaz v
G.
Une mole d'eau ( 18 g) occupe un volume molaire vL = 18 mL.
P(h) = P
atm +
rgh.
v
G = RT / P(h) avec T = 300 + h.
v
G = 8,31(300+h)/ (
Patm + rgh).
Si h = 100 m : vG =8,31 x 400 /(1,013 105 +1000 x9,81 x100)=3,07 10-3 m3 >> vL.
Si h = 10 m : vG =8,31 x 310 /(1,013 105 +1000 x9,81 x10)=1,3 10-2 m3 >> vL.
On admet que l’enthalpie de vaporisation (ou chaleur latente) L ob�it � l’�quation de Clapeyron : L=T(v
G-v
L) dP
v sat /dT . Dans cette expression, P
v sat ,
est la pression de vapeur saturante, qui ne
d�pend que de la temp�rature T . Dans la suite on n�glige v
L devant v
G , et on consid�re L
comme une constante.
2.3. Montrer qu’avec les approximations faites, l’expression
, P
v sat(T) =A exp(-L/ (RT) est solution de
l’�quation de Clapeyron, o� A est une constante.
L=T vG dPv sat /dT ; dPv sat /dT =L / (T vG) ; vG = RT / Pv sat pour une mole.
dPv sat /dT =L Pv sat/ (RT2 ) ; dPv sat / Pv sat= L / R dT / T2;
Int�grer : ln(Pv sat) = -L/(RT)+ Cste ; Pv sat =A exp(-L/ (RT).
On rappelle que la temp�rature d’�bullition de l’eau vaut
, 373 K � la pression atmosph�rique
P
0
. On mesure L= 40,0 kJ mol
-1 .
2.4. En d�duire la valeur num�rique de la constante A avec trois chiffres significatifs (v�rifier
que A est proche de 4 10
10 Pa).
A =
P0
exp(L/ (RT) = 1,013 105 exp(40,0 103 /(8,314 x373)= 4,05 1010 Pa.
Sur le graphe ci-dessous on a repr�sent� la pression de vapeur saturante et la pression hydrostatique
(en Pascal) en fonction de la
profondeur (en m�tres).
Dans le cas d’un geyser,
l’�bullition se produit d’abord
dans la cavit� (ce qui explique la
grande quantit� de vapeur
form�e). On note H la
profondeur � laquelle la
pression P de l’eau dans la
cavit� co�ncide avec la pression
de vapeur saturante P
v sat ,
� la
temp�rature impos�e par le
gradient g�othermique.
2.5. Comparer la profondeur h de la cavit� du Geyser � H . Justifier.
Lorsque la pression de l'eau dans la cavit� est �gale � la pression de vapeur saturante, l'eau se vaporise : h = H.
Pour une profondeur
comprise entre 0 et H , le potentiel chimique �
V
de l’eau vapeur est-il inf�rieur ou
sup�rieur � celui �
L
de l’eau liquide ? Ecrire l’�quation permettant en principe de calculer
H . La solution num�rique de cette �quation est H = 217 m.
Pour une profondeur
comprise entre 0 et H ,l'eau est sous forme liquide : �
L > �
V.
A l'�tat d'�quilibre, l'�galit� des potentiels chimiques conduit � :
�
L(T) = �
G(T) + RT ln( P
sat / P�).
Pour le liquide :
P(h) = Patm + rgh.
Pour la vapeur : Pv sat =A exp(-L/ (RT).
Patm + rgh = A exp(-L/ (RT).
Dans la suite on supposera que la profondeur h de la cavit� vaut exactement H . D�s le d�but de
l’�bullition dans la cavit�, les bulles remontent dans le conduit et expulsent rapidement l’eau qui s’y
trouvait. Le conduit ne contient alors quasiment plus que de la vapeur d’eau et de l’air, et la pression
dans la cavit� passe subitement � la pression atmosph�rique, alors que la temp�rature T de l’eau
y est encore �gale � celle de la roche environnante. Cette situation �loign�e de l’�quilibre conduit �
une intensification soudaine de l’�bullition de toute l’eau de la cavit�. On note c =4,18 J K
-1 g
-1 la
capacit� thermique massique de l’eau liquide, suppos�e ind�pendante de la temp�rature, m la
masse d’eau contenue dans la cavit�, et m
V
la masse de vapeur produite � chaque �ruption du
geyser. On mesure m
V =44,0 10
3 kg. On n�glige tout transfert de chaleur avec la roche pendant
l’�ruption. Pour d�terminer m, on admet que l’on peut appliquer la relation approximative suivante :
mcDT +nV L=0
o� n
V est la quantit� de mati�re de vapeur form�e et
,
DT = T�b atm-Tg�o(h)
repr�sente l’�cart de temp�rature de l’eau liquide entre sa valeur initiale dans la cavit� et la
temp�rature d’�bullition � la pression atmosph�rique.
2.6. Proposer une interpr�tation simple de cette relation. En d�duire la masse m et le volume
V de la cavit�.
L'�nergie lib�r�e par l'eau liquide sert uniquement � vaporiser le liquide : le syst�me, l'eau liquide, est adiabatique.
m =
-nV L/ (cDT) ; DT = T�b atm-Tg�o(H) = 373 -(373+217)= -217 K.
L=4,00 104 J / mol ; nV = 44,0 103 / M(H2O) = 2,44 106 mol.
m = 2,44 106 x4,00 104 /(4,18 103 x217)=1,08 105 kg.
Volume de la cavit� : m / reau =1,08 105 / 1000 = 108 m3.
2.7. On assimile la cavit� � une sph�re et on suppose qu’apr�s �ruption du geyser, la cavit�
se remplit rapidement avec de l’eau froide � la temp�rature T
f=300 K qui se m�lange �
l’eau chaude restante. Quelle est la temp�rature de l’eau dans la cavit� juste apr�s le
remplissage ? Qu’est-ce qui d�termine essentiellement la p�riode d’�ruption ?
Masse d'eau chaude restante � la temp�rature de 517 K : m-m
V =1,08 10
5-4,40 10
4=6,38 10
4 kg.
Volume de cette eau :
6,38 104 / 1000 = 63,8 m3.
Volume d'eau froide � 300 K : 108-63,8 =44,2 m3 ( 4,42 104 kg).
Energie c�d�e par l'eau chaude : 6,38 104 c ( Tfin -517).
Energie gagn�e par l'eau froide : 4,42 104 c ( Tfin -300).
6,38 104 c ( Tfin -517) +4,42 104 c ( Tfin -300)=0
6,38 ( Tfin -517) +4,42 ( Tfin -300)=0.
10,8 Tfin -3,30 103 -1,326 103 =0 ; Tfin =428 K.
La p�riode du cycle d'�ruption est d�termin�e par la dur�e d'�l�vation de la temp�rature de l'eau froide de 300 K � 517 K.