Mathématiques, concours Geipi Polytech  2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice I Soit f la fonction définie par f(x) = ln(x2 + 1).  I-A- La fonction f est définie sur R. Vrai x2+1 est strictement supérieur à 0.  I-B- f '(0) est égal à 1. Faux u = x2+1 ; u' = 2x ; f '(x) = u' / u = 2x /(x2+1) ; f '(0) = 0.  I-C- Pour tout x strictement négatif, f(x)) est strictement négatif. Faux. x2+1 > 1; ln(x2+1) > ln(1) =0.  I-D- En plus l'infini, la limite de f(x) est plus l'infini. Vrai.  Exercice II Soient g une fonction définie et dérivable sur R et Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormé.  II-A- Si g(1) = 0, alors Cg coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (1 ; 0). Faux. Cg coupe l’axe des abcisses au point de coordonnées (1 ; 0).  II-B- Si g(1) = 2 et g′(1) = 3, alors la courbe Cg admet une tangente d’équation y = 3x − 1 au point de coordonnées (1 ; 2). Vrai  II-C- Si g est deux fois dérivable et si sa dérivée seconde est positive sur R, alors la courbe Cg est en dessous de chacune de ses tangentes. Faux. La dérivée seconde étant positive, la fonction est convexe ;  sa courbe représentative est au dessus de chacune de ces tangentes. Exercice III  III-A- Pour tout nombre réel x, e3x+1 = e3x+e. Faux. e3x+1 = e3x * e. . III-B- Pour tout nombre réel x non nul, ln(x2) / ln(x2+4)= ln(x2/(x2+4)). Faux. ln(x2/(x2+4)) = ln(x2) - ln(x2+4) diffère de ln(x2) / ln(x2+4)  III-C- Pour tout nombre réel x positif, 2ln(exp(x½))= 2 ln(e) = x. Faux. On prend x = 1 : 2 ln(e) = 2 diffère de x. 2ln(exp(x½)) = 2 x½. III-D- L’ensemble des solutions de l’équation e2x − 3ex + 2 = 0 est {0}. Faux. On pose X =ex > 0 ; X2-3X+2=0 ; solutions positives retenues X = 1 et X = 2. x = 0 et x =ln(2). Exercice IV  Soit h la fonction définie sur R par h(x) = (e2x+1) / (ex+1).  IV-A- En plus l'infini, h(x) tend vers zéro. Faux. h(x) = ex(ex+1/ex) / (ex(1+1/ex))=(ex+1/ex) / (1+1/ex). En plus l'infini, 1/ex tend vers zéro et h(x) tend vers plus l'infini.  IV-B- Quand x tend vers zéro, h(x) tend vers 1. Vrai. e2x et ex tendent vers 1.  IV-C- En moins l'infini, h(x) tend vers 1. Vrai. e2x et ex tendent vers 0. . IV-D- Pour tout réel x, h '(x) = (e3x+2e2x-ex) / (e2x+1). Faux. On pose u = e2x+1 et v = ex+1 ; u' = 2e2x ; v' = ex. (u'v-v'u) / v2=[2e2x(ex+1) -ex(e2x+1)] / (ex+1)2. h'(x) = [e3x+2e2x -ex] / (ex+1)2. Exercice V Soit (un) la suite géométrique de raison q = 0,5 et telle que u2= 1.  V-A- Cette suite  est convergente. Vrai. u2 = 0,5 u1 ; u1 =2 ; u1 = 0,5 u0 ; u0 =4  ;  un = u0 qn= 4 qn. 0 < q <1, donc qn tend vers zéro quand n tend vers l'infini. V-B- Pour tout entier naturel n, un = 0,5n. Faux.  V-C- Pour tout entier naturel n non nul, u1 + u2 + ⋯ + un = 4 (1-0,5n).Vrai. u1 + u2 + ⋯ + un =u1 (1-0,5n) / (1-0,5) =4(1-0,5n). Exercice VI Soit (vn) la suite définie par v0 = 0 et pour tout entier naturel n, vn+1 = vn + 1/ ((n+1)(n+2)) .  VI-A- v1 = 1 /6 . Faux. v1 = v0 + 1/ ((0+1)(0+2))=1 / 3..  VI-B- La suite (vn) est décroissante. Faux. vn+1 - vn = 1/ ((n+1)(n+2)) > 0. La suite (vn) est strictement croissante. VI-C- La suite (vn) converge vers 0. Faux. La suite (vn) est strictement croissante avec v0 = 0. Elle ne converge pas vers zéro. VI-D- Pour tout entier naturel n, vn = n /(n+1). Vrai. Démonstration par récurrence. Initialisation : v0 = 0 /(0+1) = 0 ; la propriété est vraie au rang zéro. Hérédité : vn = n /(n+1) est supposé vrai. vn+1 = vn + 1/ ((n+1)(n+2))  = n /(n+1) +1/ ((n+1)(n+2))  =1/(n+1) [n +1/(n+2)] =1/(n+1) (n2+2n+1) /(n+2)] . n2+2n+1=(n+1)2 ; par suite : vn+1 =(n+1) / (n+2). La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel. Ω désigne l’univers d’une expérience aléatoire E et P désigne une probabilité sur Ω. Exercice VII  Pour tous événements A et B de probabilité dans l’intervalle ]0 ; 1[, on a :  VII-A- PB(A) x P(B)=  PA(B) x P(A). Vrai. PB(A) =P(A n B) / P(B) ; PA(B)=P(A n B) / P(A) ; PB(A) x P(B)=P(A n B) ; PA(B) x P(A)=P(A n B) . . VII-B- P(A(A) = 1. Vrai. PA(A) = P(A n A) / P(A) =P(A) / P(A) = 1. VII-C- Pnon A(B)=1-PA(B). Faux. Si B est inclus dans A alors Pnon A(B)=0. Pnon A(B) = P(non A n B) / P(non A) ; PA(B) = P(A n B) / P(A).   VII-D- P(B) = PA(B) + Pnon A(B) Faux. . Exercice VIII Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2.  VIII-A- P(1 ≤ X < 3) = P(X ≤ 2) − P(X = 0). Vrai. X prend des valeurs entières comprises entre 0 et 10.  VIII-B- P(X > 1) est strictement positive. Vrai. VIII-C- P(X = 0) =0,210 . Faux. P(X=0) = 0,810.  Géométrie dans le plan  Exercice IX On considère les points A, B et C de coordonnées respectives dans un repère orthonormé R : A(−1 ; 1), B(3 ; 4) et C(8 ; 1,5 ) . IX-A- La longueur du segment [AB] est 7½. Faux. AB2= (3-(-1))2 +(4-1)2 =25 ; AB = 5.  IX-B- Une équation de la droite (AB) est 3x − 4y + 7 = 0. Vrai. 3xA -4yA +7=-3-4+7=0 est vérifié. B est distinct de A et 3xB -4yB +7=9-16+7=0 est vérifié.  IX-C- Une équation de la médiatrice du segment [AB] est 8x + 6y − 25 = 0. Faux. Coordonnées du vecteur AB : ( 3-(-1) ; 4-1) soit (4 ; 3). L'équation de la médiatrice est de la forme 4x+3y+c=0. Coordonnées du milieu I de [AB] : (-1+3) / 2 ; (1+4) / 2 soit (1 ; 2,5). I appartient à la médiatrice : 4 xI+3yI +c=0. 4+7,5+c=0 ; c = -11,5.  IX-D- Le projeté orthogonal D du point C sur la droite (AB) a pour coordonnées (5 ; 5,5) Vrai. Coordonnées du vecteur AB : (4 ; 3). Coordonnées du vecteur CD ( xD-8 ; yD-1,5). Le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul : 4(xD-8) +3(yD-1,5) = 0. 4xD+3yD-36,5=0. (1) D appartient à la droite (AB) : 3xD-4yD+7=0. (2) 4 fois (1) +3 fois (2) donne : 25xD= 125 ; xD=5. Repport dans (2) : 15-4yD+7=0 ; yD=5,5. ... .... Une entreprise décide d’offrir à certains clients qui se connectent sur son site de vente en ligne une remise de 5 euros sur leur prochain achat. La distribution des bons d’achat est programmée de la manière suivante : -la probabilité que le premier client connecté obtienne un bon d’achat est 0,2 ; - si le nième client connecté gagne un bon d’achat, alors le client suivant gagne également un bon d’achat avec une probabilité de 0,3 ; - si le nième client connecté ne gagne pas de bon d’achat, alors le client suivant ne gagne pas non plus de bon d’achat avec une probabilité de 0,9.   On considère les événements suivants : An :  le niéme client connecté gagne un bon d’achat de 5 euros » . On note an = P(An). I-1- Donner la valeur de a1. a1 = 0,2.  I-2- Compléter l’arbre de probabilités.  I-3- Exprimer P(An+1 ∩ An) et P(An+1 ∩ non An ) en fonction de an. P(An+1 ∩ An)=0,3 an. P(An+1 ∩ non An ) =0,1(1-an).  I-4- En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, an+1 = 0,2an + 0,1. Justifier la réponse. Formule des probabilités totales : an+1=P(An+1 ∩ An)+P(An+1 ∩ non An ) =0,3an +0,1(1-an) =0,2an + 0,1.  Dans la suite, on pose un = an − 1 / 8 pour tout entier naturel n non nul.  I-5-a- Calculer u1. u1 = a1 − 1 / 8 =1 /5 -1/8 =(8-5) / 40= 3 /40. I-5-b- Justifier que la suite (un)n ≥1 est une suite géométrique. Préciser sa raison q. un+1 = an+1 − 1 / 8 =0,2an + 0,1-1 /8 = 0,2an -0,025 =0,2(an-0,125) =0,2 un. q = 0,2. I-6-a- Pour tout entier naturel n non nul, en déduire l’expression de un en fonction de n. un = u1 x 0,2n-1 =3 / 40 x 0,2n-1.  I-6-b- Montrer que an = 3 / (8×5n) + 1 / 8 pour tout entier naturel n non nul. an = un + 1 / 8 = 3 / 40 x 0,2n-1+ 1 /8 =3 / (5 x8) x1 /5n-1)+1/8 =3 / (8×5n) + 1 / 8.  I-7- Justifier que la suite  est convergente et donner sa limite L. an+1 -an =3 / (8×5n+1)-3 / (8×5n) < 0, la suite est décroissante. 0 < 1/5 <1 ; donc 1/5n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini. an tend vers L =1 /8. La suite est décroissante et minorée, donc elle converge I-8-a- Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, an > 1/ 8 . an = 3 / (8×5n) + 1 / 8 ; 3 / (8×5n) étant positif, an > 1/ 8 . I-8-b- Déterminer le plus petit entier naturel n0 à partir duquel an - 1/ 8 ≤ 10−5. Justifier la réponse en utilisant la fonction logarithme.  an - 1/ 8 =3 / (8×5n). 3 / (8×5n) < 10-5 ; 1/ 5n < 8 / 3 10-5 ; n ln(1/5) < ln(8 / 3 10-5 ) n > ln(8 / 3 10-5 ) / ln(1/5) ~6,54. n0 = 7. II-1- Résoudre dans R l’équation X2 − 4X + 2 = 0. D = (-4)2-4*2=8 ; X1 = (4+2*2½) / 2 =2+2½ et X2 = (4-2*2½) / 2 =2-2½. II-2- Déterminer les coordonnées des points J et L, milieux respectifs des segments [BF] et [DH]. xJ=(xB+xF) / 2 =(0+4) / 2 = 2 ; yJ=(yB+yF) / 2 =1 ; zJ=(zB+zF) / 2 =(-3½-3½) / 2 =-3½ ; J(2 ; 1 ;  -3½). xL=(xD+xH) / 2 =(0+4) / 2 = 2 ; yL=(yD+yH) / 2 =1 ; zL=(zD+zH) / 2 =(3½+3½) / 2 =3½ ; L(2 ;1 : 3½).  II-3-a- Déterminer le réel l tel que . On exprimera l en fonction de a. Coordonnées du vecteur AI : (a ; 0 ;  0). Coordonnées du vecteur AE: (4 ; 0 ; 0). l = a/4. II.3-b- QCM - Quel est l’ensemble décrit par le point I lorsque a décrit l’intervalle [0 ; 4] ?  A) le segment [AE] vrai ; B) la droite (AE) ; C) le cercle de diamètre [AE] ; D) un plan de vecteur normal AE.  On admet que . II-4- Exprimer IJ2 et IL2 en fonction de a. On ne demande pas de développer l’expression. On observera, sans la justifier, l’égalité des longueurs IJ et IL. IJ2 = (2-a)2 +1+3 = a2-4a+8. IL2 = (2-a)2 +1+3 = a2-4a+8. II-5-a- Déterminer les nombres réels m, n, et p tels que . Justifier la réponse. Ce produit scalaire est égal à : (2-a)(2-a)+1 *1 +(-3½)*3½ =a2+4-4a+1-3=a2-4a+2. m =1 ; n= -4 ; p =2.  II-5-b- En déduire les valeurs de a pour lesquelles les vecteurs IJ et IL sont orthogonaux. Ce produit scalaire doit être nul. d'après la question II.1 : a = 2±2½.  Dans les questions qui suivent, on prend a = 2 + 2½.  II-6-a- Justifier que les points I, J et L définissent un plan. Coordonnées du vecteur IJ : (-2½ ; 1 ; -3½) ; Coordonnées du vecteur IL : (-2½ ; 1 ; 3½) ; Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les points I, J et L ne sont pas alignés. Ces points définissent donc un plan.  II-6-b- Justifier que le vecteur n de coordonnées (1 ; 2½ ;0) est normal au plan (IJL).   II-6-c- En déduire une équation cartésienne du plan (IJL). Justifier la réponse. x +2½y+d=0. I appartient à ce plan : xI +2½yI+d=0 ; 2+2½+d=0 ; d = -2-2½. x +2½y-2-2½=0.  II-7- Donner une représentation paramétrique de la droite (CG). Coordonnées du vecteur CG : (4 ; 0 ; 0) x = 4t+xC = 4t ; y =0t+yC =2 ; z = 0t+0 =0 avec t réel. x=4t ; y = 2 ; z=0 avec t réel.  II-8- Déterminer les coordonnées de K, point d’intersection de la droite (CG) et du plan (IJL). Justifier la réponse. K appartient à la droite et au plan : 4t +2½*2-2-2½=0 ; 4t+2½-2=0 ; t =(2-2½ )/4. xK = 2-2½ ; yK =2 ; zK =0. II-9- Préciser la nature du quadrilatère IJKL. Aucune justification n’est attendue. Ce quadrilatère est un carré. IJ = IL et les vecteurs IJ et IL sont orthogonaux.

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