Aurélie septembre 04

diamètre apparent ; réfraction ; lentilles

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diamètre apparent

 

  1. Quel est le diamètre apparent d'un disque de diamètre 1 cm placé verticalement à 1,10 m d'un observateur ? Faire un schéma .
  2. Sachant que ce diamètre apparent est approxivement le même que celui de la lune vue dela terre, en déduire le diamètre réel de la lune connaissant la distance terre lune (3,84105 km).

corrigé

Le diamètre apparent d'un disque de diamètre 1 cm placé verticalement à 1,10 m d'un observateur est :

a = 0,01 / 1,10 = 9,1 10-3 rad.

9,1 10-3 = diamètre de la lune (km) / distance terre lune (km)

diamètre de la lune (km) =distance terre lune (km) * 9,1 10-3 =3,84.105 * 9,1 10-3 = 3500 km.



diamètre apparent

Aristarque observe qu'au cours d'une éclipse de Soleil, la Lune cache exactement le Soleil. Or, il a déterminé que la distance qui le sépare du Soleil est égale à 20 fois la distance Terre-Lune. Il peut alors en déduire la valeur de Rs le rayon solaire... Données : diamètre apparent de la Lune : a = 0.52° = 9,07 10-3 rad. estimation de la distance terre-lune : d= 4 105 km.

  1. Donner l'ordre de grandeur de la distance terre soleil pour Aristarque.
  2. Quelle est la valeur du diamètre apparent du Soleil ?
  3. Faire un shéma de la situation. En déduire à un chiffre significatif près, le rayon du Soleil.
  4. Rechercher la valeur du rayon Rs du Soleil. Comparer avecc la valeur d'Aristarque, en déduire où est l'erreur .

corrigé
distance terre soleil pour Aristarque : 20 * distance terre-lune = 20*4 10 5 = 8 106 km.

Aristarque observe qu'au cours d'une éclipse de Soleil, la Lune cache exactement le Soleil. Comme le diamètre apparent de la lune vaut 0.52 ° celui du soleil vaut 0,52° ou 9,07 10-3 rad.

9,07 10-3 = diamètre du soleil (km) / distance terre soleil (km)

diamètre du soleil = 9,07 10-3 * distance terre soleil = 9,07 10-3 * 8 106 = 7,26 104 km

rayon du soleil = ½ * 7,26 104 = 3,63 104 km

en fait le diamètre du soleil est de 6,96 10 5 km. Le résultat est 10 fois trop petit.

en fait la distance terre soleil vaut 1,5 10 8 m ; le rapport n'est pas de 20 mais de 400.





réfraction

Un rayon lumineux traverse l'une des faces d'un cube en matière transparente sous une incidence de 45° puis rencontre une 2è face perpendiculaire à la 1ère. En admettant que le plan d'incidence soit normal à ces 2 faces et que le rayon sorte dans l'air en rasant la face de sortie, calculer l'indice de réfraction de la substance du cube. (Attention : sin (90° - r) = cos r) .


corrigé

Le rayon entre sous incidence i1=45°, est réfracté suivant un angle i2

donc sin i1= sin 45 = 0,707 = n sin i2 (1)

puis attaque l'autre face suivant r1 et ressort suivant un angle de 90° ; donc n sin r1 = sin 90 = 1 (2)

Dans le triangle ABC rectangle en C : cos i2 = sin r1.

(2) s'écrit : n cos i2 = 1

élever les relations au carré puis additionner : 0,707 ² = 0,5 = n² sin² i2 ; 1= n² cos² i2 .

0,5 + 1 = n²( sin² i2 + cos² i2 ) = n² ; n²= 1,5 soit n = 1,22.



réfraction

On a un objet lumineux appelé point A dans l'eau, à une profondeur AH ( H projeté orthogonal de A sur le dioptre plan. L'objet A émet de la lumiere monochromatique les rayons émis se dirigent vers le dioptre plan eau-air que constitue la surface horizontale qui sépare les 2 milieux n eau = 1.331 ; n air = 1.000 ; n = n eau / n air. On appelle A' l'image du point A correspondant à un rayon incident AI .

  1. Montrer , dans le cas général, que la relation entre HA, HA', les angles i et r s'écrit : HA'/HA = tan i / tanr .
  2. Quel sont les conditions de gauss.
  3. Etablir la relation donnant, dans l'approximation des petits angles, HA' ( dans les conditions de Gauss) en fonction de HA et de n
  4. Que veut dire qu'un dioptre plan est un système optique non-stigmatique.

corrigé

dans le triangle AIH : tan (AH, AI)= tan i = HI / AH

dans le triangle A'IH : tan (A'H, A'I)= tan r = HI / HA'

tan i / tan r = HA' / HA.

si les angles sont petits : tan i voisin de sin i proche de i radian et tan r voisin sin r proche de r radian

i/r = A'H / HA soit r/i = AH/A'H.

loi de la réfraction en I : neau sin i = n air sin r

soit n = neau / n air = sin r / sin i proche de r/ i ; n = r/ i.

donc n= AH/A'H soit A'H = AH/n.

dioptre plan : plan qui séparent 2 régions l'espace d'indice n différents.

conditions de Gauss : on prend des rayons qui font un angle très petit avec l'axe optique du diotre pour pouvoir approximer les tangentes (au voisinage de 0, tan a est environ égal à a radian)

système optique stigmatique : à tout point objet A corespond une unique image A'

donc système optique non stigmatique c'est l'inverse : à tout point objet A corespond plusieurs images distinctes.



On veut calculer la vitesse de la lumière dans le verre. Pour cela, on dispose d'un bloc cubique de 10 cm d'épaisseur. On envoie la lumière d'un laser sur ce bloc avec un angle d'incidence 80°. Le faisceau laser ressort du cube de verre à 8,7cm de la verticale du point d'entrée.

  1. A partir d'une construction précise, mesurer au rapporteur l'angle de réfraction après la traversée de la surface de sépartion entre l'air et le verre.
    -En déduire l'indice de réfraction.
  2. Calculer la valeur de la vitesse de la lumière dans ce bloc de verre.

corrigé

tan r = 0,087 / 0,1 = 0,87 ; r = 41°.

loi de Descartes pour la réfraction : nair sin i = nverre sin r.

sin 80 = nverre sin 41 ; nverre = sin 80 / sin 41 = 0,985 / 0,656 = 1,5.

L'indice de réfraction est égal au rapport de la vitesse de la lumière dans le vide 3 108 m/s et dans le milieu transparent considéré.

nverre = 3 108 /vverre ; vverre = 3 108 / nverre = 3 108 / 1,5 = 2 108 m/s.



Lentilles

Une lentille convergente de distance focale OF'=50mm donne d'une tour, de hauteur AB=50 m, située à une distance de 250 m, une image A'B' nette sur un écran.

  1. Quelle est la distance lentille écran ? Conclure.
  2. Quelle est la taille de l'image de la tour sur l'écran ?
  3. a est l'angle sous lequel est vu l'objet AB à l'oeil nu entre l'axe optique c'est à dire l'angle AOB. Calculer tan a , a en radians et a en degrés.

corrigé
La tour est considérée comme étant à l'infini ( la distance focale OF' est très inférieure à la distance lentille objet) et son image se forme dans le plan focal (c'est le cas des appareils photo de courte focale comme les jetables, où on n''a pas besoin de mise au point tout est net , le film étant dans le plan focal)

La distance lentille écran est donc égale à OF' = 50 mm.

Taille de l'image de la tour sur l'écran :

grandissement : |g |= OA' / OA = A'B' / AB

|g |= OF'' / OA = 0,05 / 250 = 2 10-4.

A'B' = |g | AB = 2 10-4*50 = 0,01 m = 1 cm.

angle a sous lequel est vu l'objet AB à l'oeil nu :

tan a = 50 / 250 = 0,2 ; a = 11,3 degrés

180 ° correspondent à 3,14 radians

a = 11,3 * 180*3,14 = 0,197 rad.





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