Aurélie juin 04

Brouillard et vitesse - aspirine - pile cuivre aluminium

d'après bac Antilles 2004 Calculatrice autorisée

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brouillard et vitesse :

I- Modèle simple :Les gouttelettes qui se forment au voisinage du sol sont de très petites dimensions ; nous allons considérer l'évolution d'une goutte de brouillard sphérique, de rayon r, de masse m, située à une altitude h du sol et soumise au seul champ de pesanteur terrestre. On suppose la goutte immobile au début de l'étude et on oriente l'axe vertical Oz vers le bas. L'origine est la position initiale de la goutte.
Données : g = 9,8 m/s² ; volume d'une sphère V= 4/3pr3 ; meau = 1000 kg m-3.

  1. Quelle propriété présente le champ de pesanteur terrestre dans un volume comparable à celui d'une nappe de brouillard ?
    - Nommer et énoncer la loi qui, appliquée au centre d'inertie de la goutte, permet d'exprimer son vecteur accélération.
    - Etablir l'équation horaire du centre d'inertie de la goutte de brouillard.
    - Calculer la vitesse lorsqu'elle atteint le sol si h= 10 m.

II- Frottements : en réalité la vitesse des gouutes à proximité du sol est constante et vaut vL= 2,3 10-2 m/s. Nous envisageons d'autres forces appliquée à la goutte, afin de se rapprocher des conditions réelles.

  1. Donner l'expression de la poussée d'Archimède s'exerçant sur cette goutte en fonction de rair = 1,3 kg/m3, de V (volume de la goutte) et de g.
  2. Exprimer le poids de la goutte de brouillard en fonction de rair , V et de g et comparer cette expression à celle obtenue à la question précédente. Conclure.
  3. On envisage l'existence d'une force de frottement fluide exercée par l'air sur la goutte, force notée f, proportionnelle à la vitesse et de sens contraire : f = -kv( les vecteurs sont écrits en gras et en bleu)
    -. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit le centre d'inertie de la goutte, dans son mouvement selon l'axe Oz et la mettre sous la forme : dv/dt = av+b (1)
    - Identifier les constantes a et b et les exprimer en fonction des données.
    - Exprimer la vitesse limite vL atteinte par la goutte en fonction de m, g et k.
    - Rechercher par analyse dimensionnelle l'unité du cofficient k

III- Brouillard simulé : Une lunette permet d'observer finement une zone située entre les armatures horizontales A et B d'un condensateur plan. L'armature supérieure est percée d'un orifice qui permet à l'opérateur de pulvériser un brouillard de fines gouttelettes entres les armatures.

 

  1. On ferme l'interrupteur K à t=0 :
    - Indiquer le signe de la charge qui apparaît sur chaque armature.
    Pour t>0
    - En considérant l'orientation choisie pour i, écrire la relation entre l'intensité du courant i(t) et la charge acquise, notée q, portée par l'armature positive du condensateur.
    - La charge q est proportionnelle à la tension uC : q(t) = C uC(t) . Etablir l'expression liant i (t) à q(t) .
    - En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uC(t)
  2. La solution de l'équation différentielle est de la forme uC(t) = ue (1-exp(-t/(RC)). Vérifier que cette solution satisfait à l'équation différentielle.

IV- Analogie mécanique- électrique : On constate que l'évolution temporelle du système électrique "condensateur" est analogue à celle d'un système mécanique " goutte de brouillard". En effet l'équation différentielle (1) peut être résolue anlytiquement et conduit à la solution v(t) = vL (1 - exp (-kt/m))

  1. Identifier parmi les propositions suivantes, en s'appuyant sur l'allure des courbes v=f(t) et uC=f(t), le régime d'évolution commun des deux systèmes :

    a- régime divergent : la valeur de la grandeur physique étudiée tend à augmenter ( en valeur absolue) au cours du temps.
    b- régime convergent : la valeur de la grandeur physique étudiée tend vers une valeur limite constante ; l'évolution du système présente deux phases distinctes : un régime transitoire et un régime permanent.
    c- régime périodique : la valeur de la grandeur physique étudiée se répète de manière identique à intervalle de temps égaux.
  2. Rappeler l'expression de la constante de temps t pour un circuit RC et écrire l'expression uC(t) en fonction de t.
  3. En comparant les expressions de v(t) et uC(t) identifier et donner l'expression de la constante de temps pour le système de la goutte de brouillard.

V- Brouillard stabilisé : Lorsque la tension aux bornes du condensateur est ue, toute particule porteuse d'une charge électrique q est soumise à une force électrique F, de direction perpendiculaire aux armatures, vérifiant l'expression F=que/d, "d" étant la distance des armatures. Lors de la pulvérisation des gouttes, celle -ci acquiert une charge électrique q négative. La lunette permet d'observer des gouttes dans leur mouvement de chute. Pour ue= 1000 V les gouttes sont immobiles.

  1. Montrer que dans ces conditions les seules forces à prendre en compte sont le poids et la force électrique.
  2. A l'aide de la première loi de Newton, écrire la relation vectorielle entre les deux forces et les reprèsenter sur un schéma.
  3. Etablir l'expression littérale de la valeur absolue de la charge |q|
    - En déduire sa valeur si d= 0,1 m , r = 5,4 10-6 m ( rayon d'une goutte)
  4. D'après le sens de la foce électrique, déterminer le signe des charges portées par les armatures du condensateur. Ce résultat est-il cohérent.

 


corrigé
Le champ de pesanteur terrestre est uniforme : direction verticale, sens vers le bas, valeur constante g=9,8 m/s².

La seconde loi de Newton : la somme vectorielle des forces appliquées au système étudié est égale au produit de la masse M du système par le vecteur accélération du centre d'inertie du système.

suivant l'axe Oz descendant dont l'origine est situé à l'altitude h=10 m.

accélération a= g=9,8 m/s

la vitesse est une primitive de l'accélération : v = gt = 9,8 t

la position est une primitive de la vitesse : z=½gt²

soit encore en éliminant le temps : t= v/g ; z=½g(v/g)² = ½v²/g soit v² = 2gz

au sol : z=h=10 m ; v²sol = 2*9,8*10 = 196 ; v =14 m/s.


poussée d'archimède = poids du volume d'air déplacé : P= rair Vg

poids de la goutte : P= reau Vg

or la masse volumique de l'eau est environ 700 fois plus grande que la masse volumique de l'air : la poussée est négligeable devant le poids.

La seconde loi de Newton s'écrit suivant Oz :

P-f = mdv/dt ; mg -kv = m dv/dt ; dv/dt = -k/m v +g.

b est identifié à g et a est identifié à -k/m

Lorsque la vitesse limite est atteinte : vL= constante ; dvL/dt =0 ; donc avL+b=0 ; vL= -b/a = mg/k.

unité de k : force / vitesse soit masse * accélération / vitesse : [M] [L][T]-2[L]-1[T] = [M][T]-1


L'armature supérieure du condensateur est reliée à la borne positive du générateur : cette armature se charge positivement

L'armature inférieure B, reliée à la borne négative du générateur porte une charge négative.

i(t) = dq(t) / dt

q(t) = C uC(t) avec C une constante donc i(t) = dq(t) / dt = CduC/dt

additivité des tension uC + Ri = ue

uC + R CduC/dt = ue. (2)

dériver par rapport au temps uC(t) = ue (1-exp(-t/(RC))

duC/dt =ue/(RC) exp(-t/(RC) puis repport dans (2) :

ue (1-exp(-t/(RC)) + RC ue/(RC) exp(-t/(RC) = ue.

ue-ueexp(-t/(RC)) + ue exp(-t/(RC) = ue est vérifiée


b- régime convergent : la valeur de la grandeur physique étudiée tend vers une valeur limite constante ; l'évolution du système présente deux phases distinctes : un régime transitoire et un régime permanent.
t = RC ; uC(t) = ue (1-exp(-t/t )

pour la gouute de brouillard, la constante de temps vaut :

t = m/k ; v(t) = vL (1 - exp (-t/t))

m/k est une masse divisée par (masse seconde -1) donc m/k s'exprime en seconde.


les seules forces à prendre en compte sont le poids et la force électrique

- la force de frottement f est proportionnelle à la vitesse et la vitesse est nulle donc f=0

|q|=103*4/3*3,14 * (5,4 10-6)3 *9,8 *0,1 / 103= 6,4 10-16 C.

la force électrique et le champ électrique sont colinéaires et de sens contraire ( charge q négative)

Le champ électrique pointe vers le bas, vers le plus petit potentiel: donc l'armature inférieure porte une charge négative.





Contrôle de qualité sur l''aspirine synthétisée au laboratoire

  1. Les élèves synthétisent l'acide acéthylsalicylique ( ou aspirine) par réaction de m1 = 10 g d'acide salicylique avec V2 = 15 mL d'anhydride éthanoïque de masse volumique m2 = 1,08 g/mL.
    - Ecrire l'équation de la réaction et donner ces caractéristiques.
    - La synthèse esr réalisée en ajoutant quelques gouttes d'acide sulfurique au milieu réactionnel. Quel est son rôle ?
    - Calculer les quantités de matière initiales des réactifs en mole.
    - Déterminer la masse maximale mmax d'aspirine que les élèves peuvent fabriquer.
    -A la fin de la synthèse, ils purifie l'aspirine. Ils obtiennent 9,8 g d'aspirine. Calculer le rendement de la synthèse.
  2. Pureté de l'aspirine :
    Les élèves réalisent ensuite une chromatographie sur couche mince avec un éluant convenable. On obtient le chromatogramme suivant :

    - Calculer le rapport frontal de l'acide acéthyle salicylique
    - L'aspirine synthétisée par les élèves est-elle pure ? Justifier.

  3. Dosage de l'aspirine synthétisée :
    Les élèves préparent un comprimé à partir de m=0,32 g d'acide acéthylsalicylique synthétisé. Ils décident de vérifier la teneur en aspirine par conductimétrie. Pour cela ils préparent une solution S en dissolvant le comprimé dans un volume V= 250 mL d'eau distillée. Ils dosent Va = 100 mL de cette solution avec une solution d'hydroxyde de sodium ou soude de concentration CB= 0,1 mol/L.

    - Ecrire l'équation de la réaction acido-basique du dosage en notant AH l'aspirine et A- la base conjuguée.
    - Déterminer graphiquement le volume de soude versé à l'équivalence.
    - Calculer la concentration CA de l'acide acéthylsalicylique dans S
    - Déterminer la masse d'aspirine dans le comprimé.

 

corrigé

cette réaction est assez rapide, exothermique et totale

l'acide sulfurique joue le rôle de catalyseur

quantités de matière initiales des réactifs :

anhydride éthanoïque : masse = masse volumique (g/mL) * volume (mL) = 1,08*15 = 16,2 g

masse (g) / masse molaire (g/mol) = 16,2 / 102 = 0,159 mol.

acide salicylique : masse (g) / masse molaire (g/mol) = 10/138 = 0,072 mol.

la réaction s'effectue mole à mole, en conséquence l'acide salicylique est le réactif limitant.

On peut espérer obtenir au plus 0,072 mol d'aspirine, soit en masse : 0,072*180 =13 g

rendement de la synthèse : masse réelle / masse théorique calculée = 9,8 / 13 = 0,75 (75%)


Rf=rapport frontal = distance parcourue par l'aspirine / distance parcourue par le solvant

mesurer les distances sur le chromatogramme : Rf voisin de 0,75 / 1 = 0,75.

Pou un éluant donné le composé synthétisé (1) et l'aspirine pur (2) possèdent le même rapport frontal ; en conséquence le composé (1) est identifiable à l'aspirine. Par contre dans le composé (1) il n'y a plus d'acide salicylique (3).


AH +HO- = H2O + A-.

à l'équivalence les quantités de matière des réactifs sont en proportions stoéchiomètriques

CaVa = CbVéq.

Ca =CbVéq / Va = 0,1*7/100 = 7 10-3 mol/L

soit 7 10-3 *0,25 = 1,75 10-3 mol d'aspirine dans S, donc dans le comprimé

masse d'aspirine dans le comprimé : 1,75 10-3 *180 = 0,315 g.

ce résultat était attendu puisque l'aspirine synthétisée était pure et la masse du comprimé était 0,32 g.



pile cuivre- aluminium

Une pile est composée de deux demi-piles reliée par un pont salin. La première demi-pile est constituée d'une lame d'aluminium de masse m1= 1 g qui plonge dans 50 mL de solution de sulfate d'aluminium ( 2Al3+ et 3 SO42-) de concentration en ion aluminium 0,5 mol/L. La seconde est constituée d'une lame de cuivre de masse m2 = 8,9 g qui plong dans 50 mL de solution de sulfate de cuivre ( Cu2+ et SO42-) de concnetration en ion cuivre II égale à 0,5 mol/L. On associe à cette pile un ampèremètre et une résistance en série.

  1. Réaliser le schéma annoté de la pile.
  2. L'ampèremètre indique que le courant circule de la plaque de cuivre vers la plaque d'aluminium à l'extérieur de la pile. Préciser en justifiant la polarité de la pile.
  3. L'équation d'oxydoréduction de fonctionnement de la pile est :
    3Cu2+ + 2Al(s) = 2Al3+ + 3Cu(s).
    - ecrire les équations des réactions se produisant à chaque électrode.
  4. La constante d'équilibre associée à la réaction est : K= 1020.
    - Déterminer le quotient initial de réaction du système considéré.
    - Le sens d'évolution est-il cohérent ?
  5. Pile en fonctionnement :
    - Déterminer les quantités de matière initiales (mol) des réactifs de l'équation chimique et établir un tableau d'évolution.
    - En déduire l'avancement maximal.
    - Calculer la quantité maximale d'électricité que peut débiter cette pile.
    F= 96500 C; Al : 27 ; Cu : 63,5 g/mol

 


corrigé

à l'anode négative, oxydation de l'aluminium: 2Al(s) = 2 Al3+ + 6e-.

à la cathode positive, réduction des ions cuivre II : 3 Cu2+ + 6 e- = 3 Cu(s)

3Cu2+ + 2Al(s) = 2Al3+ + 3Cu(s).
Qr, i = [Al3+]i2 /[Cu2+]i3 = 0,52 / 0,53 = 1/0,5 = 2

Qr, i < K donc évolution spontanée dans le sens direct. ( évolution cohérente)


Quantité de matière initiale des réactifs :

Al : masse (g) / masse molaire (g/mol) = 1/27 = 0,037 mol

Cu2+ : volume solution (L) * concentration (mol/L) = 0,05*0,5 =0,025 mol

Cu ( produit) : 8,9 / 63,5 =0,14 mol

Al3+ (produit) : 0,05*0,5 = 0,025 mol

avancement (mol)
3Cu2+
+ 2Al(s)
= 2Al3+
+ 3Cu(s)
initial
0
0,025 mol
0,037 mol
0,025 mol
0,14 mol
en cours
x
0,025-3x
0,037-2x
0,025+2x
0,14+3x
fin
xmax
0,025-3xmax
0,037-2xmax
0,025+2xmax
0,14+3xmax
si Cu2+ en défaut :
0,025-3xmax=0 soit xmax= 0,025/3 = 8,3 10-3 mol.

si Al en défaut : 0,037-2xmax =0 soit xmax = 0,037/2 =1,85 10-2 mol.

donc xmax= 8,3 10-3 mol.

quantité maximale d'électricité que peut débiter cette pile :

Qté de matière d'ion cuivre II : 0,025 mol

d'après Cu2+ + 2 e- = Cu(s) à 2,5 10-2 mol d'ion Cu2+ il correspond 2*2,5 10-2 = 5 10-2 mol d'électrons

Q= 5 10-2*96500 = 4825 C.



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