Aurélie avril 05

La lunette de Kepler

d'après bac Nlle Calédonie mars 2005.

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La lunette de Kepler (4 points)

L'importance des observations réalisées par Galilée à l'aide de la lunette conduit Kepler à rédiger, en 1610, le premier traité moderne d'optique, le Dioptricae.

Le point central du Dioptricae est l'étude des phénomènes liés aux lentilles. À l'aide de l'optique géométrique, Kepler explique comment on agrandit ou réduit une image grâce à un choix judicieux de lentilles. Il décrit la lunette galiléenne mais propose un nouveau montage utilisant deux lentilles convergentes.

Une lunette de Kepler, appelée aussi lunette astronomique est constituée de deux lentilles minces convergentes, d'axe optique commun (D). Une modélisation de cette lunette est constituée de la manière suivante :

- L'objectif (L1) est une lentille convergente de distance focale f1' = 250 mm, de diamètre D = 25 mm, de centre optique O1 ;

- L'oculaire (L2) est une lentille de distance focale f2' = 50 mm, de centre optique O2.

  1. Schéma de la lunette : faire un schéma en plaçant la lentille (L2) de telle façon que le foyer objet F2 de l'oculaire coïncide avec le foyer image F'1 de l'objectif.
  2. Images et grossissement : L'astre observé est à l'infini, son diamètre AB est perpendiculaire à l'axe optique en A. Tous les rayons issus de B sont parallèles entre eux et font avec l'axe optique un angle a qui est le diamètre apparent de l'astre. Un des rayons issu de B est représenté.

    - L'objectif (L1) donne, de l'astre observé, une image A1B1: construire l'image A1B1 en justifiant la méthode choisie.
    - Où se forme l'image définitive A2B2 donnée par l'oculaire (L2) ? Justifier la réponse.
    - Compléter la figure en traçant le rayon émergeant de la lunette correspondant au rayon incident tracé issu de B. Justifier les tracés nécessaires à cette construction.

  3. On appelle grossissement G d'un instrument d'optique le rapport G=a' /a .a' est l'angle sous lequel on voit l'image donnée par l'instrument. a est l'angle sous lequel on voit l'objet à l'œil nu. Pour les angles petits et exprimés en radians, tana voisin a.
    -Après avoir indiqué a ' sur le schéma montrer que, pour la lunette de Kepler modélisée à la question 1, le grossissement a pour expression G= f'1 / f'2 . En déduire la valeur du grossissement de cette lunette.
  4. L'expérience montre que les plus belles images du ciel s'obtiennent avec des grossissements dont la valeur est inférieure à un nombre N. Ce nombre est identique à la valeur du diamètre D de l'objectif, exprimé en millimètre, soit ici 25. L'idéal pour l'instrument étudié ici est de disposer d'une gamme d'oculaires permettant des grossissements de N/7 à N. À partir d'un grossissement égal à N les images paraissent floues à l'œil humain.
    - Déterminer pour l'instrument étudié, les deux valeurs extrêmes de f1' correspondant à ces grossissements.
  5. Cercle oculaire
    - Définir le cercle oculaire. Construire le cercle oculaire.
    -Quel est son intérêt pratique ?
  6. Nouvelle image et grandissement
    On approche l'oculaire de 5 mm vers l'objectif. Déterminer, par le calcul, la position de l'image définitive A3B3.
    - Calculer le grandissement g de l'oculaire dans ce cas.

     




corrigé

L'objet est à l'infini, son image est donc dans le plan focal image de l'objectif (L1)

La relation de conjugaison de Descartes permet de le vérifier : (les grandeurs algèbriques sont écrites en bleu et en gras)

1/f'1 = 1/O1A1 - 1/O1A avec 1/O1A nul ; donc A1 est confondu avec F'1.

Un rayon issu de B et passant par le centre optique O1de la lentille n'est pas dévié. B1 est à l'intersection de ce rayon et du plan focal image de L1.

L'image définitive A2B2 donnée par l'oculaire (L2) est à l'infini car l'objet A1B1 est dans le plan focal objet de l'oculaire.

Tracer un rayon passant par B1 et le centre optique O2 de la lentille : il n'est pas dévié. Le rayon incident issu de B, ressort de la lentille parallèlement au rayon précédent.

Dans le triangle rectangle F2O1B1 : tan a = A1B1 / O1A1 = A1B1 /f'1soit a voisin A1B1 /f'1.

Dans le triangle rectangle F2O2B1 : tan a' = A1B1 / O2A1 = A1B1 /f'2soit a' voisin A1B1 /f'2.

le grossissement a pour expression G=a' / a = f'1 / f'2= 250 / 50 = 5,0.

Les deux valeurs extrêmes de f1' correspondant à ces grossissements : N= 25 mm

G= N =f'1 / f'2 soit f'1 = N f'2 = 25 *50 =1 250 mm

G= N/7 =f'1 / f'2 soit f'1 = N/7 f'2 = 25 /7*50 =179 mm


Le cercle oculaire est l'image du bord de l'objectif ( lentille circulaire) donnée par l'oculaire.

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On place l'oeil à la position du cercle oculaire : toute la lumière issue de l'objectif L1 est collectée par l'oeil ;donc l'image A2B2 observée est très lumineuse.


A3B3 est l'image définitive de A1B1 donnée par l'oculaire (L2). L'oculaire étant plus proche de 5 mm alors O2A1= -0,045 m.

On applique les formules de conjugaison à l'oculaire :

1/f'2 = 1/O2A3 - 1/O2A1 avec 1//f'2= 1 / 0,05 = 20 d.

1/O2A3 = 1/f'2 + 1/O2A1 =20 - 1/ 0,045 = -2,22 soit O2A3 = -1/2,22 = -0,45 m.

grandissement de l'oculaire : g = O2A3 / O2A1= -0,45 / -0,045 = 10.



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