Aurélie 07/06/06

 

Résistance d'une bobine réelle, où il est question de la lumière , hydrolyse d'un ester d'après bac S Polynésie 2006

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Résistance d'une bobine réelle ( 6 pts) 

On désire vérifier la résistance r d'une bobine réelle d'inductance L= 250 mH modélisée par :

A- En régime permanent :

On réalise un circuit comportant un générateur de tension continue de fem E= 6,0 V, de résistance interne négligeable, un ampèremètre numérique, un voltmètre numérique, des fils de connexion et la bobine étudiée.

  1. Compléter le schéma ci-dessous en indiquant la position de l'ampèremètre, du voltmètre. Faire figurer la tension uG=E aux bornes du générateur, uB, tension aux bornes de la bobine. La tension aux bornes de l'ampèremètre est négligeable.
  2. Les mesures des appareils donnent uB=5,95 V et I= 410 mA. En déduire la résistance r de la bobine en justifiant la démarche.

B- En régime transitoire :

On ajoute en série au montage précédent une résistance R'= 10,0 W. Il remplace les appareils de mesures par un système d'acquisition informatisé qui lui donne les variations de i(t) obtenues à la fermeture de l'interrupteur. La tension du générateur reste égale à 6 V.

  1. Quel est le phénomène observé dans le circuit ?
  2. Sur le schéma ci-dessous indiquer comment brancher le système d'acquisition ( voie d'entrée et voie de référence) afin d'obtenir une tension proportionnelle à l'intensité. Justifier.
  3. Déterminer la valeur de la constante de temps t à partir du graphe ci-dessous. Détailler clairement la méthode utilisée.
  4. La valeur de t est égal à L/R où R représente la résistance totale du circuit. Donner l'expression de t en fonction des paramètres du circuit et vérifier par analyse dimensionnelle que t est homogène à un temps.
    - La bobine ayant une inductance L= 250 mH déterminer sa résistance.
  5. On considère que l'intensité i(t) atteint une valeur limite Ioo=240 mA au bout d'une durée 5 fois supérieure à t. Quel est alors le régime de fonctionnement de la bobine ? Exprimer la résistance r de la bobine en fonction de E, R' et Ioo. Calculer r.
  6. Les trois valeurs obtenues pour r sont-telles cohérentes entre elles ?

C- En régime transitoire :

Cette bobine est branchée aux bornes d'un condensateur C= 4 mF préalablement chargé :

  1. Rappeler l'expression littérale de la période propre T0 d'un oscillateur LC. Calculer T0 .
  2. On branche un oscilloscope aux bornes du condensateur et on observe sur l'écran des oscillations pseudo-périodiques de pseudo-période T. Interpréter l'ammortissement des oscillations.
    - On constate avec une base de temps de 2 ms/div, que deux pseudo-périodes occupent entre 6,2 et 6,4 divisions. Donner un encadrement de la pseudopériode T ainsi mesurée.
    - Comparer ce résultat à T0.

 




corrigé


En régime permanent l'intensité I0 est constante et dI0/dt est nulle ; la tension aux bornes de la bobine est uL=rI0

uL=rI0   ; r = uL /I0 = 5,95 / 0,410 = 14,5 W.

Phénomène observé dans le circuit en régime transitoire :

à la fermeture de l'interrupteur, on observe un retard à l'établissement du courant ; pendant ce temps la bobine inductive stocke de l'énergie.

Schéma du circuit permettant de visualiser une tension proportionnelle à l'intensité du courant :

La tension aux bornes d'un résistor noté R' et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles.

valeur de la constante de temps t = 10 ms = 10-2 s.

expression littérale de t = L/(R'+r)= L/R avec R= R'+r.

dimension de t :

E=½Li² soit L=2E/i² : énergie / intensité au carré

Energie dissipée dans un résistor : E= Ri²t soit R = E/(i²t) : énergie / ( intensité² * temps)

d'où L/((R0+r) a la dimension d'un temps

valeur de r si L= 0,250 H ; t = 0,0100 s et R' = 10,0 W :

r +R' = L/t = 0,25/0,01 = 250 soit r = 15,0 W.

régime de fonctionnement de la bobine à t >5t : régime permanent

En régime permanent l'intensité Ioo est constante et dIoo/dt est nulle ; la tension aux bornes de la bobine est uL=rIoo

uL=rIoo   ; uAB= R'Ioo ; additivité des tensions E=uL+uAB=rIoo +R'Ioo ; r +R'= E /Ioo = 6 / 0,24 = 25,0 W ; r= 15,0 W.

les trois valeurs obtenues pour r sont cohérentes ( écart relatif 0,5*100/15 = 3,3 %)


période propre de l'oscillateur LC : T0 = 2p(LC)½.

valeur de T0 si L= 0,250H et C= 4 10-6 F

T0 = 6,28(0,25*4 10-6)½=6,28*10-3s. ( 6 ms, le calcul donne un résultat peu précis, la capacité étant exprimée avec un seul chiffre significatif )

Amortissement des oscillations :

lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, une partie de l'énergie est dissipée par effet joule dans les conducteurs ohmiques.

Encadrement de la pseudo-période T mesurée si 2 T appartient à l'intervalle [6,2 ; 6,4ms]

T est comprise entre 6,1 et 6,2 ms, valeur cohérente avec la valeur de la période propre T0 ( écart relatif 0,15 *100/ 6,15 = 2,5%).





où il est question de la lumière (6 pts)

Partie A :

Un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d'onde l produit par une source laser arrive sur un fil vertical de diamètre a ( a est de l'ordre du dixième de mm). On place un écran à la distance D de ce fil ; D est très grande devant a. La figure ci-dessous est en vue de dessus.

  1. Quel enseignement sur la nature de la lumière ce phénomène apporte-t-il ? Nommer ce phénomène.
  2. Faire apparaître sur la figure ci-dessus l'écart angulaire ou demi angle de diffraction q et la distance D entre le fil diffractant et l'écran.
  3. Exprimer cet écart angulaire en fonction des grandeurs L et D sachant que pour les petits angles exprimés en radians tan q =q.
  4. Quelle expression mathématique lie les grandeurs q, l et a ? Préciser les unités de ces grandeurs physiques.
  5. En utilisant les résultats précédents montrer que la largeur L de la tache centrale de diffraction s'exprime par : L=2lD/a.
  6. On dispose de deux fils calibrés de diamètres respectifs a1 = 60 mm et a2 = 80 mm. On place successivement ces deux fils dans le dispositif et on obtient sur l'écran deux figures de diffraction notées A et B. Associer en le justifiant, à chacun des deux fils la figure de diffraction qui lui correspond.

    On cherche à déterminer expérimentalement la longueur d'onde dans le vide l de la lumière monochromatique émise par la source laser utilisée. Pour cela on place devant le faisceau laser des fils calibrés verticaux. On désigne par "a" le calibre d'un fil. D= 2,5 m. Pour chaque fil on mesure la largeur L de la tache centrale de diffraction. On trace la courbe L=f(1/a).

  7. La lumière émise par la source laser est dite monochromatique. Quelle est la signification de ce terme ?
  8. Montrer que l'allure de la courbe L=f(1/a) obtenue est en accord avec l'expression de L donnée en 5.
  9. Donner l'équation de la courbe L=f(1/a) et en déduire la longueur d'onde l.
  10. Calculer la fréquence de la lumière monochromatique émise par la source laser.
  11. On éclaire avec cette source laser un verre flint d'indice n(l) = 1,64. A la traversée de ce milieu transparent dispersif, les valeurs de la fréquence, de la longueur d'onde et de la couleur associées à cette radiation varient-elle ?
    c= 3,00 108 m/s.

Partie B :

On étudie la cinétique de la réaction en solution aqueuse, entre les ions permanganate MnO4- et l'acide éthanedioïque H2C2O4. L'équation de la réaction, considérée comme totale, modélisant la transformation chimique étudiée s'écrit :

2MnO4- + 5H2C2O4 +6H3O+ = 2Mn2+ + 10 CO2 +14 H2O.

On suit l'évolution du système chimique par spectrophotométrie. En solution aqueuse les ions permanganate absorbent une partie des radiations du spectre visible contrairement à toutes les autres espèces du milieu réactionnel qui n'interagissent pas avec la lumière visible. Le spectrophotomètre est réglé sur la longueur d'onde l dans l'air de l'une des radiations absorbées par les ions permanganate. Il permet de mesurer l'absorbance A l de la solution. L'absorbance est proportionnelle à la concentration effective des ions permanganate soit Al(t) = k[MnO4-](t).

  1. Le spectre d'absorbtion A=f(l) d'une solution aqueuse d'ion permanganate de potassium de concentration molaire c= 5,0 10-4 mol/L en ions présents en solution est donné ci-dessous :

    - Dans quel intervalle de longueur d'onde l'absorbance est-elle significative ? Quelle est la couleur de la solution ?
    - Un laser de longueur d'onde 540 nm serait-il adapté pour l'étude spectrophotométrique de la transformation ?

  2. On introduit dans la cuve du spectrophotomètre un volume V1 = 1,0 mL d'une solution aqueuse acidifiée de permanganate de potassium de concentration effective en ion permanganate égale à 5,0 10-4 mol/L. A la date t=0 on ajoute un volume V2 = 1,0 mL une solution d'acide oxalique de concentration 12,5 10-4 mol/L. Le spectrophotomètre mesure l'absorbance en fonction du temps.

    - Justifier l'évolution de l'absorbance au cours du temps.
    - Déterminer les quantités de matière initiales des ions permanganate et d'acide oxalique.
    - A l'aide d'un tableau d'avancement déterminer l'avancement maximal en supposant les ions oxonium en excès.
    - Comment peut-on évaluer la vitesse volumique à la date t ?
    - Comment évolue la vitesse volumique de cette réaction ?
    - Définir le temps de demi-réaction t½. Le déterminer graphiquement.


corrigé
renseignement sur la nature de la lumière :

Le phénomène de diffraction ( par une fente de largeur du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière) met en évidence la nature ondulatoire de la lumière.

écart angulaire q :

tan q = ½L/D voisin de q radian pour les angles petits.

d'autre part q = l/a

avec : l longueur d'onde (m) et a : largeur de la fente (m)

en tenant compte des deux relations ci-dessus : ½L/D=l/a soit L=2lD/a

A chaque fil sa figure de diffraction :

le produit lD étant constant, L largeur de la tache centrale et a largeur de la fente sont inversement proportionnelles : la figure A correspond donc à la plus petite fente a1= 60 mm et la figure B à la fente la plus large a2 = 80 mm.

monochromatique : une lumière monochromatique correspond à une seule couleur, à une seule fréquence.

L= k * 1/a = 2,72 10-6 *1/a, en accord avec la realtion trouvée ci-dessus (L=2lD/a avec k identifié a : 2lD)

longueur d'onde de la lumière : 2lD =2,72 10-6 avec D=2,5 m

l =2,72 10-6 / 5 = 5,44 10-7 m = 544 nm.

fréquence de cette lumière : f = c/l =3,00 108 / 5,44 10-7 =5,51 1014 Hz.

A la traversée d'un milieu transparent dispersif :

la fréquence reste constante( donc la couleur associée reste constante) ; la longueur d'onde varie ainsi que la célérité.


Spectre d'absorption A=f(l) d'une solution de permanganate de potassium à 5,0 10-4 mol/L :

L'absorbance présente un maximum dans la région [480 nm - 580 nm] ; la solution absorbe le vert et une partie du jaune ; la solution a une teinte complémentaire de bande de couleur absorbée ; la solution est donc rose violet.

Un laser de longueur d'onde 540 nm est tout a fait adapté pour l'étude spectrophotomètrique de la transformation.

Evolution de l'absorbance A au cours du temps :

l'ion permanganate MnO4- est la seule espèce colorée ; c'est de plus un réactif , donc qui disparaît au cours du temps ; en conséquence l'absorbance A diminue au cours du temps.

Quantité de matière (mol) initiale des réactifs : volume (L) de la solution * concentration (mol/L)

acide oxalique H2C2O4 :1,0 10-3*12,5 10-4 =1,25 10-6 mol.

ion permanganate : 1,0 10-3*5 10-4 =5,0 10-7 mol.

avancement maximal :

avancement (mol)
2MnO4-
+5H2C2O4
+6H3O+
=2Mn2+
+10CO2
+14H2O
initil
0
5,0 10-7
1,25 10-6
en excès d'après l'énoncé
0
0
solvant en large excès
en cours
x
5,0 10-7-2x
1,25 10-6-5x
2x
10x
fin
xmax
5,0 10-7-2xmax
1,25 10-6-5xmax
2xmax
5xmax
si MnO4- en défaut : 5,0 10-7-2xmax =0 soit xmax =2,5 10-7mol

si H2C2O4 en défaut : 1,25 10-6-5xmax =0 soit xmax =2,5 10-7mol

Evaluer la vitesse volumique à une date t : v= 1/V dx/dt avec V : volume de la solution et x : avancement (mol)

l'absorbance A est proportionnelle à [MnO4-] ; or [ MnO4-] =(5,0 10-7-2x)/V

dériver par rapport au temps : d[MnO4-]/dt = -2/V dx/dt ; soit 1/V dx/dt = -½d[MnO4-]/dt

A la date t considérée, tracer la tangente à la courbe A=f(t) puis déterminer son coefficient direceteur ( -dA/dt) ; la vitesse v est proportionnelle à ce coefficient.

Evolution de cette vitesse volumique : autocatalyse

t<2 min : la vitesse est très faible, car le catalyseur ( l'un des produits Mn2+ ) est en faible quantité.

2<t<4 min : la vitesse augmente avec la quantité croissante du catalyseur.

t>4 min : la vitesse diminue puis s'annule, car les quantités de matière des réactifs diminuent.

temps de demi-réaction :

durée au bout de laquelle l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final

( dans ce cas l'avancement final est égal à l'avancement maximal)

à t½ : x= 1,25 10-7 mol ; [ MnO4-] =(5,0 10-7-2*1,25 10-7)/V = 2,5 10-7/V mol/L soit la moitié de sa valeur initiale

donc l'absorbance a diminué de moitié à t½.



Hydrolyse d'un ester (4pts)

s

  1. La formule semi-développée de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est donnée ci-dessous. Faire apparaître le groupe caractéristique de cette molécule et indiquer à quelle famille de composés elle appartient.
  2. Ecrire l'équation associée à la réaction modélisant la transformation d'hydrolyse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle.
  3. Préciser le nom de chacune des espèces chimiques obtenues lors de cette hydrolyse. Donner la formule semi-développées de chacune de ces molécules, fair apparaître le groupe caractéristique de celle-ci et indiquer à quelle famille de composés elle appartient.
    On répartit le milieu réactionnel dans 10 béchers. A la date t=0, tous les bechers contiennent le même volume V= 5,0 mL de cette solution et sont placés dans un bain thermostaté. A une date t on prélève l'un des béchers que l'on place dans un bain d'eau glacée. On dose l'acide formé lors de cette hydrolyse par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration molaire cb. On note Vb éq le volume de solution titrante versé au changement de couleur de l'indicateur coloré acido-basique. ( On dose à froid pour éviter la réaction de saponification de l'ester). On obtient les résultats suivants :
    t(min)
    0
    10
    20
    30
    40
    50
    60
    90
    120
    Vb éq mL
    0
    3,8
    6,8
    9,0
    10,8
    12,2
    13,6
    15,6
    16,8
    - Ecrire l'équation de la réaction associée à la réaction acido-basique de titrage.
    - Exprimer et calculer la constante d'équilibre K de cette réaction. La transformation est-elle totale ?
    - Définir l'équivalence d'une réaction de titrage.
    - A l'équivalence exprimer la quantité de matière nA d'acide présent à la date t dans le becher en fonction de cb et vb éq.
    - En déduire la quantité de matière n d'acide qui se serait formé dans le milieu réactionnel initial à la même date en fonction de cb et vb éq.
  4. Réaction d'hydrolyse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle
    - Rappeler les caractéristiques d'une telle réaction d'hydrolyse.
    - Calculer les quantités de matière initiales respectivement notées n 0 ester et n 0 eau en réactifs mis en présence.
    - Etablir un tableau d'avancement relatif à la réaction d'hydrolyse.
  5. Equilibre et réaction d'estérification hydrolyse. On considère que la réaction est terminée à t = 120 min.

    - A la date t = 120 min, calculer le taux d'avancement final t1 de cette réaction d'hydrolyse à l'aide de la courbe ci-dessus.
    - Comment peut-on augmenter le taux d'avancement final de la réaction d'hydrolyse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle.
    Données : M(éthanoate de 3-méthylbutyle) = 130 g/mol ; M(eau) = 18 g/mol ; r(éthanoate de 3-méthylbutyle) = 0,87 g/mL ;
    couple ( CH3COOH / CH3COO-) : Ka = 1,8 10-5.


corrigé

équation de la réaction associée à l'hydrolyse de l'ester :

CH3-COO-CH2-CH2-CH(CH3)2 + H2O = CH3-COOH + (CH3)2CH-CH2-CH2OH

CH3-COOH : acide éthanoïque ( groupe acide carboxilique -COOH)

(CH3)2CH-CH2-CH2OH : 3-méthylbutan-1-ol ( alcool primaire groupe -CH2OH)

équation associée à la réaction acido-basique de titrage :

CH3-COOH + HO- = CH3-COO- + H2O

Expression de la constante d'équilibre : K= [ CH3-COO-]éq / [HO- ]éq[CH3-COOH]éq ;

Or CH3-COOH + H2O = CH3-COO- + H3O+ Ka = [ CH3-COO-]éq [H3O+ ]éq / [CH3-COOH]éq

soit [ CH3-COO-]éq/ [CH3-COOH]éq = Ka /[H3O+ ]éq

repport dans K : K = Ka /( [H3O+ ]éq [HO- ]éq) = Ka /Ke =1,8 10-5 / 10-14 = 1,8 109.

équivalence :

à l'équivalence les quantités de matière des réactifs mis en présence sont en proportions stoechiomètriques ; avant l'équivalence l'acide est en excès; après l'équivalence l'ion hydroxyde est en excès.

Quantité de matière d'acide ( nA) présent à la date t : nA = CB VB éq.

Quantité de matière d'acide ( n) formé dans le milieu initial à la date t :

on a réparti le milieu réactionnel en 10 béchers d'où n = 10 nA = 10CB VB éq.

caractéristiques d'une réaction d'hydrolyse :

lente, athermique, limitée par la réaction inverse, l'estérification

Quantités de matière initiales des réactifs :

masse (g) = volume (mL) * masse volumique (g/mL) puis mase (g) / masse molaire (g/mol)

n0 eau = 35*1/18 = 1,94 mol ; n0 ester = 15*0,87/130 =0,10 mol

tableau d'avancement :


avancement (mol)
ester
+eau
=acide
+alcool
initial
0
0,10
1,94
0
0
en cours
x
0,10-x
1,94-x
x
x
état final
xf
0,10-xf
1,94-xf
xf
xf
taux d'avancement final t1 : à t = 120 min la réaction étant terminée xf = 0,084 mol

de plus xmax = 0,10 mol ( ester : réactif limitant)

t1 = xf /xmax = 0,084/0,1 = 0,84 ( 84 %)

On peur augmentet t1 en éliminant l'un des réactif au fur et à mesure qu'il se forme (distillation par exemple quand cela est possible)

on peut aussi ajouter l'un des réactifs ( le moins couteux : l'eau ) en grand excès : on déplace alors l'équilibre vers la droite, dans le sens de la consommation de ce réactif ajouté en large excès.





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