Aurélie 10/04/06

Mécanique ; d'après concours kiné EFOM 2006

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Mouvement d'une automobile( 5 pts).

A- Une automobile de masse M=1,6 t démarre, sans vitesse initiale sur une route rectiligne horizontale. La phase de démarrage est une phase d'accélération pendant laquelle aucune force ne s'oppose à l'avancement, alors que le moteur exerce une force constante , de valeur F, parallèle au déplacement.

  1. Faire le bilan des forces extérieures s'exerçant sur la voiture.
    - En donner une représentation au point G, centre d'inertie de la voiture à un instant quelconque.
  2. L'auto parcourt la distance OA=L=700 m et atteint la vitesse v= 126 km/h. A laide du théorème du centre d'inertie, établir la relation entre F et la valeur a de l'accélération.
    - A l'aide du théorème de l'énergie cinétique, établir la relation entre la valeur F de la force et la vitesse v.
    - En déduire une relation entre vitesse et accélération.
    - Calculer la valeur de l'accélération. et en déduire la valeur de la force F.

B- L'auto aborde en A, avec la vitesse vA= 126 km/h une portion de route rectiligne horizontale AB de longueur l, puis une portion BC circulaire de cente O, de rayon R= 100 m, telle que OC fait avec la verticale un angle q= 60°. Les frottements sont négligeables.

  1. L'automobile arrive en B. Calculer vB.
  2. A l'aide du théorème de l'énergie cinétique appliqué au tronçon BC établir la relation liant vC à vB, R, g et q.

C- Que devient la trajectoire du centre d'inertie G de la voiture après C ?

  1. Déterminer les équations horaires du mouvement dans le repère Cxyz.
  2. En déduire l'expression littérale de l'équation de la trajectoire.
  3. Préciser la nature de cette trajectoire.
  4. Préciser la nature du mouvement sur cette trajectoire.
  5. L'auto retombe sur le sol en un point I. Calculer littéralement l'abscisse de I.

Données : g=10 m/s² ; sin 30 = cos60 = 0,5 ; sin 60 = cos 30 = 0,87.


corrigé
bilan des forces extérieures s'exerçant sur la voiture :

poids, vertical, vers le bas, valeur Mg = 1,6 104 N ; action du support, vertical, vers le haut, opposée au poids, valeur R= 1,6 104 N ; force motrice , parallèle à la route, sens du mouvement, valeur F.

Relation entre F et la valeur a de l'accélération : écrire la seconde loi de Newton sur un axe horizontal, vers la droite : F= Ma

Relation entre la valeur F de la force et la vitesse v : écrire le th. de l'énergie cinétique ( vitesse initiale nulle ; seule F travaille et effectue un travail moteur W= F L)

½Mv² = FL
Relation entre vitesse et accélération : v² = 2aL
valeur de l'accélération : a =v²/(2L) avec v = 126 / 3,6 = 35 m/s et 2L= 1400 m ; a = 35*35/1400 = 0,875 m/s²

valeur de la force F : F= Ma = 1,6 103*0,875 = 1,4 103 N.


Sur le tronçon AB, l'auto est soumise à son poids et à l'action du support : ces deux forces perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas et en conséquence la valeur de la vitesse n'est pas modifiée. vB=vA = 35 m/s.

relation liant vC à vB, R, g et q :

Sur le tronçon BC, l'auto est soumise à son poids et à l'action Rdu support : R perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

En montée le travail du poids est résistant ; la différence d'altitude entre B et C vaut : R(1-cosq)

d'où le travail du poids : -MgR(1-cosq)

Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre B et C : ½MvC²-½MvB² = -MgR(1-cosq)

vC²-vB² = -2gR(1-cosq) ; vC²=vB² -2gR(1-cosq).

vC² = 35²-20*100*(1-cos60)= 1225-1000 = 225 ; vC= 15 m/s.


La trajectoire du centre d'inertie G de la voiture après C est une branche de parabole : la voiture n'est soumise qu'à son poids ( chute libre avec vitesse initiale non colinéaire au poids)

équations horaires du mouvement dans le repère Cxyz :

abscisse de I : zI=0 d'où y=0 ( correspond au point C)

et 0,5 g y/ ( vC² cos²q) = sin q / cosq ; y I= 2vC² sin q cosq / g = vC² sin (2q) / g

y I=35² sin120 / 10 = 106 m.





Palets (7 points)

Un palet P1 de masse m1 est propulsé le long d'une piste à coussin d'air. La piste comporte une rampe AB de longueur L inclinée d'un angle a sur l'hotizontale, suivie d'un trou T afin de recevoir ce palet. Le palet P1 est propulsé grâce à un choc avec un palet P2, de masse m2 = 4 m1. Le palet P2 est lui même relié à un ressort R horizontal, de masse négligeable et de constante de raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixe en O.

A l'équilibre, la position du centre d'inertie du palet P2 est notée G0 telle que OG0 = l0.

Tous les frottements sont négligés ; Lors du choc le palet P2 transmet intégralement son énergie cinétique au palet P1 ; le ressort exerce une force proportionnelle à sa déformation.

Etude du mouvement du palet P2 :

Un joueur comprime le ressort : la nouvelle position du centre d'inertie G2 du palet devient G1 telle que OG1 = 0,25 l0. Puis ce même joueur le lâche à un instant pris comme origine des dates, sans communiquer de vitesse initiale à P2.

  1. Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du palet P2. L'origine sur l'axe x'x est G0.
  2. L'équation du mouvement de G2 est : x(t) = A sin (w0t+f) où x est l'abscisse de G2 sur l'axe G0x.
    - Quelle est la nature du mouvement de G2 ?
    - Préciser la signification physique de A, w0, f.
    - Etablir l'expression littérale de w0, de la période T0.
    - Déterminer les valeurs des constantes A et f.
    - En déduire littéralement puis numériquement l'équation horaire x(t)
  3. Donner l'expression littérale de la vitesse v(t) de G2.
    - A quel instant t0, le centre d'inertie G2 du palet passe-t-il en G0 ?
    - Déterminer la valeur de la vitesse lors du passage en G0.
  4. Exprimer l'énergie mécanique du système ressort et palet à un instant t quelconque.
    - Que vaut cette énergie à l'instant t0 ?
    - En déduire la vitesse v0 du palet à l'instant t0. Cette valeur est-elle en accord avec celle trouvée en 3 ?

Etude du mouvement du palet P1 : le choc entre les palets a lieu lorsque le centre d'inertie G2 du palet P2 passe en G0.

  1. Calculer la vitesse v1 acquise par du le centre d'inertie G1 du palet P1 au moment du choc.
  2. En déduire la vitesse vA du centre d'inertie G1 du palet P1 au passage en A.
  3. On prévoit que le palet P1 aborde la rampe avec la vitesse v2 = 3,6 m/s. Vérifier que cette valeur est en accord avec les hypothèses formulées au départ.
  4. Calculer la vitesse vB au passage au sommet de la rampe, sachant que B est situé à une hauteur hB= 25 cm au dessus du plan horizontal passant par A.
  5. Quelle doit être la longueur L de la rampe.
  6. Déterminer l'équation de la trajectoire du centre d'inertie G1 du palet P1au delà de B, dans le repère O'xz.
  7. Déterminer l'expression littérale, puis numérique, de la vitesse du palet P1 retombant sur le sol.
  8. A quelle distance du point O' faut-il percer le trou.

m1 = 50 g ; m2 = 200 g ; k = 20 N/m ; l0 = 24 cm ; g= 10 m/s² ; a= 30°.

aide au calcul : p²=10 ; sin 30 = 0,5 ; cos 30 = 0,87 ; tan30 = 0,58 ; 3,6²= 13 ; 1,4²=2 ; 18²= 324 ; 8*0,87 = 7


corrigé
équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du palet P2 :

soit en projection sur G0x : -kx=m2x" ou bien x" + k/m2 x=0

nature du mouvement de G2 : le mouvement ne dure que 1/4 de période , donc rectiligne non uniformement accéléré.

signification physique de A ( amplitude), w0( pulsation) f ( phase à t=0)
expression littérale de w0 = ( k/m2)½ =10 rad/s période T0 = 2p/ w0 =2p ( m2/k)½ = 6,28/10 = 0,62 s.
valeurs des constantes A et f :

à t=0 x(0) = -0,75 l0 = A cosf avec A positif donc f = p et A = 0,75 l0 .
équation horaire x(t) = 0,75 l0 cos(( k/m2)½t+p)=0,18 cos(10t+p)= 0,18 sin(10t-½p)


expression littérale de la vitesse v(t) de G2 : dériver x(t) par rapport au temps

v(t) = -Aw0 sin (w0t+p)
instant t0, le centre d'inertie G2 du palet passe en G0 : x(t0) = 0 soit 0,18 cos(10t0+p)=0 ; 10t0+p= + ou -½p ; t0= p/20 = 0,25 T0 = 0,157 s.
valeur de la vitesse lors du passage en G0 : Aw0 = 0,18 *10 = 1,8 m/s.

énergie mécanique du système ressort et palet à un instant t quelconque : ½kx²+½m2v²= ½kA²
énergie à l'instant t0 : ½m2v0²

conservation de l'énergie mécanique : ½m2v0² =½kA² ; v0² = kA² /m2 ; v0 = A(k/m2)½ =1,8 m/s.


vitesse v1 acquise par du le centre d'inertie G1 du palet P1 au moment du choc :

conservation de l'énergie cinétique :½m2v0² = ½m1v1² ; v1² = m2v0² /m1 = 4 v0² soit v1 = 2v0 = 3,6 m/s

vitesse vA du centre d'inertie G1 du palet P1 au passage en A : aucune force ne travaille entre G0 et A donc vA= v1.

La vitesse v2 = 3,6 m/s prévue est en accord avec les hypothèses formulées au départ.

vitesse vB au passage au sommet de la rampe :

sur la rampe, l'action du plan, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas ; le travail du poids est résistant en montée et dépend de la différence d'altitude hB = L sin a. ( W= -m1ghB) Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre A et B :

½m1vB² - ½m1vA² = -m1ghB soit : vB² =vA² -2ghB = 3,6²-20*0,25 = 13-5=8 ; vB= 2,8 m/s.

longueur L de la rampe : hB= L sin a soit L =0,25 / 0,5 = 0,50 m.

équation de la trajectoire du centre d'inertie G1 du palet P1au delà de B, dans le repère O'xz :

z = -0,825 x² +0,58 x+0,25

expression littérale, puis numérique, de la vitesse du palet P1 retombant sur le sol :

sur le parcours A I (impact au sol), écrire le théorème de l'énergie cinétique sachant que le poids ne travaille pas ( A et I ont la même altitude) et que l'action du plan est perpendiculaire à la vitesse : aucune force ne travaille et en conséquence la valeur de la vitesse au sol est égale à vA.

ou bien : v²= [vBcos a)2+ (vBsins a-gt)2]½. Il faut déterminer t en écrivant qu'au sol z =0 soit 0 = -5t² + 2,8 t +0,25

distance du point O' au trou : écrire qu'au sol z=0 soit -0,825 x² +0,58 x+0,25=0

solution positive à retenir x =1 m.



charge-décharge d'un condensateur

On associe en série un générateur basse fréquence (GBF), un résistor (R= 10 kW) , un condensateur de capacité C= 10mF et un interrupteur. Le GBF délivre une tension u, rectangulaire telle que : u(t)=U0 =10 V sur l'intervalle [0 ; ½T] et u(t) = 0 sur l'intervalle [½T, T]

  1. Représenter u(t) sur l'intervalle [0, 2T].
  2. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur et la tension u(t) prend la valeur U0. Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension uC(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t).
    - Faire un schéma en indiquant le sens du courant et les différentes tensions.
    -On donne comme solution de l'équation différentielle : uc= A(1-exp(-at)). Déterminer littéralement et numériquement A et a.
    - Que représentent physiquement A et a.
    - En déduire l'expression de uC(t).
    - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
    - Donner l'allure de la courbe uc(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
    - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
    - Que vaut cette énergie en fin de charge ( ½T>> RC)
    - A quel instant t1 la charge maximale est-elle atteinte au millième près ?
  3. A l'instant t=½T, la tension u(t) passe de U0 à 0. On réalise un changement de repère temporel : on appelle t' la nouvelle variable pour laquelle l'instant initial t'=0 correspond à t=½T.
    - Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension uC(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).
    - Faire le schéma du montage en faisant apparaître l'intensité et les différentes tensions.
    - On donne comme solution de l'équation différentielle : uc= Bexp(-bt). Déterminer littéralement et numériquement B et b.
    - Que représentent physiquement b. Quel rapport avec a ?
    - En déduire la valeur de B puis l'expression de uC(t').
    - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
    - Donner l'allure de la courbe uc(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
    - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
    - Que vaut cette énergie en fin de décharge ( ½T>> RC)
    - A quel instant t'2 la charge vaut-elle 37% de la charge maximale ?

    Données : ln 10 = 2,3 ; e1 = 100/37

corrigé

u(t) sur l'intervalle [0, 2T]

équation différentielle caractérisant la tension uC(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t)

uPB= U0 ; uPB= uPA+ uAB avec i = dqA/dt = CduAB/dt .

U0 = Ri +uAB soit U0 =RC duC/dt +uC (1)

uc= A(1-exp(-at))

dériver l'expression de uC par rapport au temps : duC/dt = Aa exp(-at).

repport dans (1) : U0 = RCAa exp(-at)+A(1-exp(-at))

U0 = A(RCa -1)exp(-at) +A égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence A= U0 et a =1/(RC) = 1/(104*10-5) = 10 s

A : amplitude de la tenion uC (V) ; a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde-1 ) du dipôle RC.

uC(t) = U0(1-exp(-t/(RC)))= 10 ( 1-exp(-10t))

la solution trouvée satisfait aux conditions initiales en effet :

uC(0) = 10(1-exp(0)) = 0 ( condensateur non chagé)

allure de la courbe uc(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½CuC².
cette énergie en fin de charge vaut : ½CU²0 = 0,5 10-5*100 = 5 10-4 J.
instant t1 où la charge maximale est atteinte au millième près : uC(t1) = 0,999 U0 ; 0,999 = 1-exp(-10t1) ; 10-3 = exp(-10t1)

ln(10-3) = -10 t1 ; t1 = -0,1 ln(10-3) =0,69 s.


équation différentielle caractérisant la tension uC(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).

uC(t') = Ri avec i = -dq/dt et q= CuC soit i = -CduC/dt

uC(t')+RCduC/dt =0 (1)

solution de l'équation différentielle : uc= Bexp(-bt). Valeurs de B et b :

dériver l'expression de uC par rapport au temps : duC/dt = -Bb exp(-bt).

repport dans (1) : B exp(-bt) -Bb RC exp(-bt) =0 égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence b =1/(RC) = 1/(104*10-5) = 10 s
b=a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde-1 ) du dipôle RC.
valeur de B et l'expression de uC(t') :

à l'instant t'=0 uc(0) = U0 = 10 V d'où B = 10 V et uc= 10 exp(-10t). La solution trouvée satisfait aux conditions initiales
allure de la courbe uc(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC :

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½CuC².
cette énergie est nulle en fin de décharge ( ½T>> RC)
instant t'2 où la charge vaut 37% de la charge maximale :

uC(t'2) = 0,37 *10 = 10 exp(-10t'2) ; 0,37 = exp(-10t'2) ; -10t'2 = ln 0,37 = -1 soit t'2 = 0,1 s.



acide base

A- Définir un acide fort au sens de Brönsted

  1. Ecrire l'équation de la réaction entre un monoacide fort AH et l'eau.
  2. Le pH d'une solution aqueuse S d'un monoacide fort AH est égal à 2,7. Calculer sa concentration.

B- On dispose d'une solution S1 d'un monoacide A1H de concentration c1 et de pH1= 2,4. A partir de S1 on prépare une solution aqueuse S'1 de concentration c'1 = c1/10. Le pH de S'1 a pour valeur 2,9. En déduire si A1H est un acide fort ou faible. Justifier.
- Ecrire l'équation de la réaction entre A1H et l'eau

C- Définir la constante d'acidité d'un couple acido basique AH/A-.
- Calculer la constante d'acidité Ka du couple A1H/A1- sachant que la solution S1 de pH =2,4 a une concentration c1 = 0,10 mol/L. Vérifier que le pKa de ce couple vaut 3,8.

D- A un volume v1 = 50 mL de solution S1, on ajoute un volume d'une solution aqueuse S2 d'hydroxyde de sodium de concentration c2 = 0,10 mol/L. Quel volume v2 de la solution S2 faut-il ajouter pour obtenir l'équivalence acido basique. Justifier la valeur du pH à l'équivalence.

- Quel volume v'2 de la solution S2 faut-il ajouter pour obtenir un mélange de pH=3,8 ? Comment s'appelle une telle solution ?


corrigé
un acide fort au sens de Brönsted : espèce susceptible de céder un proton ; la réaction avec l'eau est totale.

Le pH d'une solution aqueuse S d'un monoacide fort AH est égal à 2,7. Sa concentration est telle que pH=-log C soit C= 10-pH = 10-2,7 = 2,0 10-3 mol/L.


Lors de la dilution de facteur 10, le pH a varié de 0,5 unité. Or le pH d'un acide fort varie d'une unité lors d'une dilution de facteur 10. En conséquence A1H est un acide faible.

équation de la réaction entre A1H et l'eau : A1H + H2O = A1- + H3O+.


constante d'acidité d'un couple acido basique AH/A- : AH + H2O = A- + H3O+.

la constante associée à l'équilibre ci-dessus est la constante d'acidité Ka du couple AH/A- : Ka = [A-][H3O+] / [AH]

constante d'acidité Ka du couple A1H/A1- : [A1-]=[H3O+] = 10-2,4 = 4 10-3 mol/L

conservation de A1 : [A1H] + [A1-] = 0,1 d où [A1H] = 0,1-4 10-3 =9,6 10-2 mol/L

Ka = 4 10-3 * 4 10-3 / 9,6 10-2 = 1,67 10-4 ; pKa = -log 1,67 10-4 = 3,8.


A1H + HO- = A1- + H2O réaction totale.

A l'équivalence les quantités de matière des réactifs mis en présence sont en proportions stoechiomètriques

c1v1 = c2v2 soit v2 = c1v1 / c2 = 0,1*50 / 0,1 = 50 mL

la valeur du pH à l'équivalence est supérieure à 7, la base conjuguée A1- est très majoritaire.

A la demi équivalence ( v'2 = 25 mL) de ce dosage le pH est égal au pKa du couple A1H/A1- : on obtient une solution tampon.



électrolyse

Plus de 50 % de la production mondiale de zinc est obtenu par électrolyse d'une solution de sulfate de zinc, acidifiée à l'acide sulfurique. Les ions sulfates ne participent pas aux réactions électrochimiques.. On observe un dépôt métallique sur une électrode et un dégagement gazeux sur l'autre.

I- Etude de la transformation :

  1. Quelles sont les réactions susceptibles de se produire sur chaque électrodes sachant que s'est le solvant qui est oxydé en O2 ? Zn2+(aq)/Zn ; H+(aq) / H2(g) ; O2(g) / H2O(l)
  2. Schématiser l'électrolyseur, en précisant le nom de chaque électrode, leur polarité et le déplacement des espèces chargées.
  3. En justifiant le choix des couples, vérifier que l'équation globale de cette électrolyse est : Zn2+(aq)/ + H2O(l) = Zn + ½O2(g) + 2 H+(aq)
  4. S'agit-il d'une transformation spontanée ou forcée ? Pourquoi ? Quelle vérification théorique proposeriez-vous ?
  5. Etablir le tableau d'avancement correspondant à l'électrolyse.

II- Exploitation : l'électrolyse a lieu sous 3,5 V. L'intensité du courant peut atteindre 80 kA. Après 48 H de fonctionnement, le dépôt de zinc est suffisamment épais. Il est alors séparé et fondu en lingots.

  1. Quelle est la relation entre l'avancement x et la quantité d'électricité transportée ?
  2. Quelle est l'ordre de grandeur de la masse de zinc produite en 2 jours par une cellule ?
  3. En fait on obtient une quantité de zinc inférieure à celle attendue. Pourquoi ?
  4. Le rendement de la réaction qui produit le dioxygène est de 80% et le volume molaire est 24 L/mol. Donner la relation entre l'avancement x et le volume V de dioxygène récupéré. Quel est l'ordre de grandeur de V ?
    Données : M( Zn) = 65 g/mol ; masse volumique du zinc r= 7 g/cm3. 1 F = 96000 C

corrigé

les réactions susceptibles de se produire sur chaque électrodes :

à la cathode négative, réduction : Zn2+ (aq) + 2e- = Zn(s) majoritaire mais aussi 2H+ (aq) + 2e- = H2(g)

à l'anode positive, oxydation : H2O (l)= ½O2 (g)+ 2H+ (aq) + 2e-.

d'où l'équation globale de cette électrolyse : Zn2+(aq) + H2O(l) = Zn + ½O2(g) + 2 H+(aq)

L'électrolyse est une transformation forcée qui nécessite un apport d'énergie électrique.

vérification théorique : comparer le quotient initial et la constante d'équilibre .


avancement (mol)
Zn2+(aq)
+ H2O(l)
= Zn
+ ½O2(g)
+ 2 H+(aq)
initial
0
n0
solvant en large excès
0
0
en large excès
en cours
x
n0- x
x
½x
fin
xmax
n0- xmax
xmax
½xmax
relation entre l'avancement x et la quantité d'électricité transportée :

Zn2+ (aq) + 2e- = Zn(s) d'où : la quantité de matière d'électrons n( e-) est égale à 2 fois la quantité de matière de zinc. n( e-) = 2x

Quantité de matière d'électricité Q= 96000 n(e-) =96000*2 x = 1,92 105 x

ordre de grandeur de la masse de zinc produite en 2 jours par une cellule :

de plus Q= I t = 8 104 * 2*24*3600 = 1,38 1010 C

d'où x = 1,38 1010 / 1,92 105 = 7,2 104 mol

masse de zinc (g)= masse molaire (g/mol) * Qté de matière (mol) = 65* 7,2 104 =4,68 106 g = 4,68 t.

on obtient une quantité de zinc inférieure à celle attendue : les ion H+ se réduisent également à la cathode.

relation entre l'avancement x et le volume V de dioxygène récupéré :

quantité de matière de O2 (mol) = volume (L) / volume molaire (L/mol) = V/24 = ½ x soit V= 12 x

ordre de grandeur de V : 12*7,2 104 = 8,6 105 L = 8,6 102 m3.

en tenant compte du rendement : 8,6 102*0,8 = 688 m3.



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