Aurélie 05/06

D'après concours Geipi 2006

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exercice 1
  1. Quel est l'ordre de grandeur de la surface totale ( km²) des océans sur la Terre ? 103 ; 104 ; 105 ; 108 ; 1012 ;
    surface d'une sphère de 6000 km de rayon : S= 4pR² = 4*3,14 *(6 103)² = 4,5 108 ; puis les océans recouvvrent 75% de la surface.
  2. Classer les corps purs suivants en fonction de leur température de fusion :eau, éthanol, plomb, fer, diazote.
    diazote ; éthnaol ; eau ; plomb ; fer ( par ordre croissant)
  3. Avec un véhicule consommant en moyenne 5 L de carburant pour 100 km, quel est l'ordre de grandeur de la masse de CO2 émise par kilomètre parcouru ? 10 mg, 100 mg, 1 g, 10 g, 100 g.
    octane C8H18 + nO2=8CO2 + 9H2O ; masse de 5 L d' octane : environ 4 kg ; n(octane ) = 4000/ 114 = 35 mol ; donc 8*35 = 281 mol CO2 ou 281*44 =12,3 kg ; soit par km parcouru 123 g.
  4. En France faire correspondre la part de production d'électricité :


    moins de 5%
    entre 5 et1 5%
    entre 15 et 30%
    entre 30 et 50%
    plus de 50%
    thermique classique


    10 %




    éolien
    0,2%





    thermique nucléaire





    80%
    hydroélectricité


    10%




  5. Le projet européen a pour objectif :
    - La mise en place d'un système de positionnement satellitaire.
    - l'étude de la fusion nucléaire.
    - L'étude du climat et de l'effet de serre.
    - La réalisation d'un vol spatial habité ayant Mars comme destination.
    - La réalisation d'un nouvel accélérateur de particules.


Mouvement d'une balle de tennis

Un joueur de tennis ( joueur 1) désire effectuer un lob, cela signifie qu'il doit envoyer la balle suffisamment haut pour que son adversaire ( joueur 2) ne puisse pas l'intercepter. La balle doit retomber dans les limites du court.

On notera A le point où le joueur 1 frappe la balle, O comme origine du repère. OA= z0 = 1,00 m, ordonnée de A ; z1 = 3,00 m ordonnée correspondant à la hauteur maximale pour laquelle le joueur 2 peut intercepter la balle quand il lève sa raquette. x1 = 15,0 m, abscisse correspondant à la position du joueur 2.; x2 = 25,0 m , abscisse correspondant à la ligne de fond du court du joueur 2. v0 vitesse initiale de la balle en A ; a= 45,0° ; g=9,80.

Pour que le lob soit réussi, il faut donc que la balle issue de A avec la vitesse initiale v0 soit telle que z>z1 pour x=x1 et que x<x2 pour z=0. On se propose se déterminer les valeurs de la vitesse initiale v0 pour que le lob soit réussi. On néglige tous les effets liés à l’air.

  1. Compte tenu des hypothèses, quel est le nom mathématique de la courbe décrite par la trajectoire de la balle ?
  2. Donner les expressions littérales des composantes du vecteur vitesse initiale.
  3. Donner les expressions littérales des équations horaires x(t) et z(t).
  4. Donner l’expression littérale de la trajectoire z(x).
  5. A partir de l’équation précédente, exprimer la vitesse initiale v0 en fonction de x, z, z0, a et g.
  6. En déduire la valeur numérique v0 1 de la vitesse initiale pour que la balle touche le sol au point de coordonnées : x = x1 z = z1.
    De même, donner la valeur numérique v0 2 de la vitesse initiale pour que la balle touche le sol au point de coordonnées : x = x2 z = 0.
    En déduire finalement l’intervalle de la valeur de la vitesse initiale pour lequel le lob est réussi.

corrigé
nom mathématique de la courbe décrite par la trajectoire de la balle : arc de parabole

expressions littérales des composantes du vecteur vitesse initiale :

sur Ox : v0x= v0 cos a ; sur Oz : v0z = v0 sin a.

expressions littérales des équations horaires x(t) et z(t) : composantes de l'accélération : ax=-g ; az=0 ; position initiale : x0 = 0 ; z0 = OA

la vitesse est une primitive de l'accélération : vx= v0x= v0 cos a ; vy = -gt +v0 sin a.

Le vecteur position est une primitive deu vecteur vitesse : x= v0 cos a t ; z = -½gt² + v0 sin a t + z0 .

expression littérale de la trajectoire z(x) : t =x/( v0 cos a ) ; repport dans z :

z= -½gx²/( v0 cos a )² + x tan a + z0.

expression de vitesse initiale v0 en fonction de x, z, z0, a et g :
-z+ z0 +x tan a = ½gx²/( v0 cos a )² ; v0² = ½gx² /((-z+ z0 +x tan a)cos² a)

v0 = [ ½gx² /((-z+ z0 +x tan a)cos² a)]½.

valeur numérique v0 1 de la vitesse initiale pour que la balle touche le sol au point de coordonnées : x = x1 z = z1 :

v0 1 =[ ½gx1² /((-z1+ z0 +x1 tan a)cos² a)]½ = [4,9*15²/((-3+1+15)*0,5]½ =[4,9*225/6,5]½ =13,0 m/s.

valeur numérique v0 2 de la vitesse initiale pour que la balle touche le sol au point de coordonnées : x = x2 z = 0 :

v0 2 =[ ½gx2² /((-z2+ z0 +x2 tan a)cos² a)]½ = [4,9*25²/((1+25)*0,5]½ =[4,9*625/13]½ =15,3 m/s.

intervalle de la valeur de la vitesse initiale pour lequel le lob est réussi : [13,0 ; 15,3 m/s]





tomographie par émission de positons

La TEP tomographie par émission de positons (ou positron) est une technologie de médecine nucléaire qui utilise des molécules marquées avec un isotope émetteur de positons pour imager le fonctionnement ou le dysfonctionnement d’organismes vivants. On utilise principalement le fluorodesoxyglucose FDG marqué au fluor 18 pour ce type d’examen.

  1. Production du radio-isotope émetteur de positon

    Le 189F ou fluor 18 est produit dans un cyclotron en bombardant par des protons de haute énergie une cible contenant du 188O, un isotope de l’oxygène. Le fluor 18 se désintègre par émission b+, produisant de l’oxygène dans son état fondamental.
    - Ecrire la réaction nucléaire correspondant à la formation de 189F et nommer les produits de la réaction.
    - Donner la composition du noyau de fluor 18.
    - Ecrire la réaction nucléaire de désintégration b+ du fluor 18 et nommer les produits cette réaction.
    - Le fluor 18 a une demi-vie t 1/2 de 110 minutes. Définir et calculer sa constante radioactive l.

  2. Préparation du FDG marqué au fluor 18 et injection au patient

    Un automate permet de remplacer un groupement OH du glucose par du fluor 18, la molécule marquée obtenue a des propriétés analogues au glucose normal que l’on injecte au patient. Un tissu organique anormal (par exemple une tumeur cancéreuse) consomme plus de glucose qu’un tissu sain et concentre donc la radioactivité.
    - On injecte à un patient à 10 h une dose de solution glucosée présentant une activité de 300 MBq . Calculer le nombre de noyaux de fluor 18 qu’il reçoit.
    - On ne laisse sortir le patient que lorsque son activité n’est plus que 1% de sa valeur initiale. A quelle heure pourra t’il quitter la salle d’examen ?

  3. Détection des positons émis

    Les positons émis avec une vitesse initiale non nulle sont freinés par collisions avec les atomes et s’arrêtent après quelques mm. Un positon au repos s’annihile avec un électron produisant une paire de photons de même énergie se propageant dans des directions opposées.

    Le dispositif détecte les photons émis en coïncidence avec une caméra spéciale entourant la tête ou le corps du patient. Un traitement mathématique permet de remonter à la concentration en fluor 18.
    - Ecrire l’équation de la réaction d’annihilation du positon.
    - Calculer l’énergie en MeV de chacun des photons.

  4. Radioprotection du personnel hospitalier

    Il faut une couche de plomb d’épaisseur x 1/2 = 4 mm pour diminuer de moitié le rayonnement produit. Le patient est placé dans une enceinte de plomb d’épaisseur 5 cm. Quel est le pourcentage de rayonnement transmis à l’extérieur ?

    Données : Masse du positon et de l’électron : 9,1 10-31 kg ; vitesse de la lumière dans le vide c = 3 108 m.s-1 ; 1 eV = 1,6 10-19 J


corrigé
réaction nucléaire correspondant à la formation de 189F : 188O + 11H ---> 189F + 10n (fluor 18 et neutron)

composition du noyau de fluor 18 : 9 protons et 18-9 = 9 neutrons.

réaction nucléaire de désintégration b+ du fluor 18 : 189F ---> AZX + 01e

conservation de la charge : 9=Z+1 soit Z=8 ; conservation du nombre de nucléons : 18=A+0 ; ( 188O et positon)

constante radioactive l du fluor 18 : l t½=ln2 soit l = ln2 / t½ = ln2/(110*60) = 1,05 10-4 s-1=6,30 10-3 min-1.

nombre de noyaux de fluor 18 reçu : A=l N soit N= A/l = 3 108 / 1,05 10-4 =2,86 1012 .

heure de départ de la salle d’examen : A= A0 exp(-lt) avec A/A0 = 0,01 et l= 6,30 10-3 min-1.

t = ln(0,01) / (-6,30 10-3 )= 731 min ou 12 h 11 min ; sortie à 10 h + 12 h 11 = 22 h 11 min

équation de la réaction d’annihilation du positon : 01e + 0-1e = 2 00g.

énergie en MeV de chacun des photons : Etotale = 2me

9,1 10-31 *(3 108)² =8,19 10-14 J ; 8,19 10-14 /1,6 10-19 = 5,12 105 eV = 0,51 MeV

pourcentage de rayonnement transmis à l’extérieur :

5 cm = 50 mm ; 50 / 4 = 12,5

4 mm de protection : il reste 0,5= 1/2 *100 rayonnement émis

8 mm de protection : il reste 0,5*0,5=0,25 = 1/2² *100 rayonnement émis

12 mm de protection : il reste 0,5*0,5*0,5=0,125 = 1/23 *100 rayonnement émis

d'où : 100 * 1/212,5 = 1,7 10-2 %.



dosage de l'acide benzoïque :

L’acide benzoïque, de formule semi-développée C6H5COOH, est utilisé comme conservateur dans l’industrie alimentaire. On le notera dans l’exercice AH.

On peut déterminer la concentration d’une solution S d’acide benzoïque en menant un dosage acide-base par une solution d’hydroxyde de sodium (soude) fraîchement préparée, de concentration connue : [NaOH] = 0,05 mol.L-1. Pour ce faire, on prélève à l’aide d’une pipette graduée 50,0 mL d’une solution d’acide benzoïque, que l’on verse dans un bécher. Après avoir équipé ce dernier d’un système d’agitation et d’un pH-mètre, on introduit progressivement la solution de soude à l’aide d’une burette graduée et on porte la valeur indiquée par le pH-mètre en fonction du volume de soude ajouté.

  1. Calculer le pH de la solution titrante de soude.
  2. Ecrire l’équation de la réaction de dosage en faisant apparaître les formules semi-développées des réactants.
  3. Déterminer le pKa du couple AH/A-.
  4. Calculer la constante d’équilibre de la réaction de dosage.
  5. Peut on considérer la réaction : rapide, lente, totale, endothermique, athermique, exothermique ?
  6. Le pH à l’équivalence est-il acide, neutre, basique ou non défini ?
  7. Parmi la liste ci-dessous, quel serait le meilleur indicateur coloré pour ce dosage ?
    nom
    teinte acide
    teinte basique
    zone de virage
    Hélianthine
    rouge
    jaune
    3,1 - 4,4
    rouge de méthyle
    rouge
    jaune
    4,2 - 6,2
    Bleu de bromothymol
    jaune
    bleu
    6,0 - 7,6
    Rouge de crésol
    jaune
    rouge
    7,2 - 8,8
    Phénolphtaléïne
    incolore
    rose
    8,2 - 10,0
    Rouge d’alizarine
    violet
    jaune
    10,0 - 12,0
  8. Déterminer la concentration en acide benzoïque de la solution S.
  9. Exprimer cette concentration en g.L-1 d’acide benzoïque (concentration massique).C : 12 ; H : 1 ; O : 16 g/mol
  10. Indiquer qualitativement de façon graphique l’allure de la courbe qu’on aurait obtenu si on avait dilué la prise d’essai au départ en y ajoutant de l’eau pure.

corrigé
pH de la solution titrante de soude : pH= 14 + log c = 14 + log 0,05 = 12,7.

équation de la réaction de dosage : C6H5COOH + HO- = C6H5COO- + H2O ; K= [C6H5COO- ]/([C6H5COOH][HO-])

pKa du couple AH/A- : à la demi équivalence du dosage, pH=pKa soit pKa = 4,2 ( lecture graphe à V=½Véq = 9 mL).

constante d’équilibre de la réaction de dosage :

C6H5COOH + H2O = H3O+ + C6H5COO- ; Ka =[C6H5COO-][H3O+]/[C6H5COOH] soit [C6H5COO-]/[C6H5COOH] = Ka / [H3O+]

repport dans K : K= Ka/([HO-][H3O+]) = Ka/Ke = 10-4,2 / 10-14 = 109,8 .

La réaction est rapide, totale et exothermique.

pH à l’équivalence : présence de la base ion benzoate, donc pH basique ( le graphe indique pHéq=7,6).

le meilleur indicateur coloré pour ce dosage : le pH éq doit appartenir à la zone de virage de l'indicateur coloré, donc rouge de crésol.

concentration en acide benzoïque de la solution S : [à l'équivalence, [NaOH] Véq = CaVa soit Ca = [NaOH] Véq / Va= 0,05*18/50 = 1,8 10-2 mol/L

concentration en g.L-1 d’acide benzoïque = concentration molaire * masse molaire

1,8 10-2 * (7*12+6+32) = 2,2 g/L.



dipôle RL

Un dipôle est constitué de l’association en série d’une bobine présentant une inductance L et une résistance RL avec un conducteur ohmique de résistance R=40 W. Ce dipôle est alimenté par un générateur de tension de f.é.m. E à travers un interrupteur K. Il est parcouru par un courant i.

Les bornes A, B, et C sont reliées aux entrées d’une carte d’acquisition permettant d’enregistrer l’évolution des tensions. A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K, l’enregistrement génère les courbes 1 et 2.

  1. Quelle tension est représentée par la courbe 1 ?
  2. Quelle tension est représentée par la courbe 2 ?
  3. Quelle sera l’allure de la courbe de variation du courant i choisie parmi les quatre courbes ci-dessous ?
  4. Tracer l’allure de la courbe de variation de la tension uAB.
  5. Donner la valeur E et l’intensité maximale IMAX atteinte par i.
  6. Donner l’équation différentielle définissant i. Cette équation sera présentée sous la forme d’une égalité où la f.é.m. E sera le seul terme du deuxième membre.

    - En déduire les valeurs de L et RL.
    On remplace maintenant le générateur de tension par un générateur de courant délivrant un courant en dents de scie (courbe 3). On considérera ici que la résistance RL de la bobine est nulle.

  7. Quelle sera, parmi les cinq courbes ci-dessous, l’allure de la courbe de variation de la tension uAB et de la courbe de variation de la tension uBC.
     

corrigé
tension est représentée par la courbe 1 : uAC=E

tension est représentée par la courbe 2 : uBC=Ri

allure de la courbe de variation du courant i choisie parmi les quatre courbes ci-dessous : III

allure de la courbe de variation de la tension uAB = uAC+uCB=uAC-uBC= E-uBC

en régime permanent uAB =RLIMax = 8*0,25 = 2 V

valeur E et l’intensité maximale IMAX atteinte par i : E= 12 V ( lecture graphe)

RIMax = 10 V soit IMax =10/R=10/40 = 0,25 A

équation différentielle définissant i : E= Ldi/dt + RL i + Ri ; Ldi/dt + (RL + R)i = E

en régime permanent i=IMax= constante et dIMax/dt=0 d'où E= (RL+R)IMax

RL= E/IMax-R= 12/0,25-40 = 8 W.

valeur de L : t = L/(RL+R) = 2,5 10-3 s soit L= t (RL+R) =2,5 10-3*48 = 0,12 H

allure de la courbe de variation de la tension uAB et de la courbe de variation de la tension uBC

uAB = Ldi/dt avec i fonction affine par intervalle donc di/dt = fonction constante par intervalle : courbe V

uBC et i sont proportionnelles : courbe VIII



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