On souhaite déterminer expérimentalement l'inductance d'une bobine par deux méthodes différentes.

A- méthode 1 : on réalise le montage suivant comprenant un générateur basses fréquences délivrant une tension périodique triangulaire, une bobine d'inductance L inconnue et de résistance interne r et un conducteur ohmique de résistance R=1,00 kW. Dans cette méthode on négligera r devant R.

Un oscilloscope numérique permet de visualiser la tension u_AB(t) aux bornes de la bobine et de la tension u_CB(t) aux bornes de la résistance R. Le GBF ayant une masse flottante, cela permet de relier la masse de l'oscilloscope à n'importe quel point du circuit.

1. Recopier le schéma de la figure 1 et indiquer les branchements de l'oscilloscope sachant que la voie Y_A correspond à la tension u_AB(t) et Y_B à la tension u_CB(t).
2. Identifier les signaux 1 et 2 enregistrer sur les voies Y_A et Y_B en justifiant.
3. Exprimer l'inductance L de la bobine en fonction des tensions u_AB(t) et u_CB(t).
4. Calculer la valeur de l'inductance L.
5. Calculer l'énergie emmagasinée dans la bobine à l'instant t= 0,6 ms.

B- méthode 2 : un condensateur de capacité C= 2 mF est chargé à l'aide d'un générateur de tension, il est ensuite déconnecté du générateur. A la date t=0, le condensateur chargé est relié à la bobine de la partie précédente. Les variations au cours du temps de la tension u_C(t) aux bornes du condensateur sont enregistrées à l'aide d'un système d'aquisition de données relié à un ordinateur.

1. Ecrire l'équation différentielle à laquelle satisfait la tension u_C(t).
2. Calculer la valeur de l'inductance de la bobine en considérant que la mesure de la pseudo-période est identique à celle de la période propre.

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corrigé

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sur la voie Y_B on visualise u_CB(t) = -Ri, tension triangulaire (1) ( ou affine par intervalle)

sur la voie Y_A on visualise u_AB(t) = Ldi/dt ( si le terme r i est négligeable) , tension constante (2) par intervalle car la dérivée di/dt d'une fonction affine est constante

Expression de l'inductance L de la bobine en fonction des tensions u_AB(t) et u_CB(t).

sur l'intervalle de temps [0 ; 0,5 ms] : u_CB(t)= -Ri ; du_CB(t)/dt =-R di/dt = 4 / 5 10^-4 = 8000 V s^-1 d'où di/dt = -8000/1000 = -8 A s^-1.

u_AB(t) = Ldi/dt = -L/R du_CB(t)/dt soit L= - R u_AB(t) / (du_CB(t)/dt) avec u_AB(t) = -0,1 V

L= 100/ 8000 = 0,0125 H.

énergie emmagasinée dans la bobine à l'instant t= 0,6 ms : u_CB(0,6)= 3 V ; u_CB(t)= -Ri soit i = -3 /R = - 3 10^-3 A.

énergie stockée : E= ½Li² =0,5*0,0125*9 10^-6 = 5,6 10^-8 J.

équation différentielle à laquelle satisfait la tension u_C(t)

u_C(t) + Ldi/dt +ri =0

d'autre part q= Cu_C(t) et i = dq/dt = Cdu_C(t)/dt ; di/dt = Cd²u_C(t)/dt²

u_C(t) + LCd²u_C(t)/dt² + rCdu_C(t)/dt =0

valeur de l'inductance de la bobine : période T= 10^-3 s ( lecture graphe)

d'autre part T= 2p(LC)^½ ; LC= T²/(4p²) ; L= T²/(4p²C) = 10^-6 / (4*3,14² *2 10^-6 )=1,27 10^-2 H.