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Le sismographe se compose d'une
masse M relié a un ressort de raideur K de longueur
au repos l0. L'extremité du ressort est
attaché en un point fixe du référentiel
Rl du laboratoire que l'on suppose
galiléen. On repère le mouvement du centre de
masse M du bloc par son élongation x(t)
mesurée a partir de la position d'équilibre de
l'ensemble ressort + masse.
- Schéma les
forces en
présence :
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poids : vertical, vers le bas,
appliqué au centre d'inertie, valeur :
mg
tension du ressort : verticale,
dirigée vers la position
d'équilibre, appliquée au point de
fixation masse ressort, valeur proportionnelle
à la déformation du ressort.
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- Appliquer le
principe fondamental de la dynamique ( 2ème loi de
Newton) pour établir l'équation du
mouvement :
écrire cette loi sur un axe vertical dirigé
vers le bas ; l'origine de l'axe est la position
d'équilibre stable du système masse ressort
:
à l'équilibre : mg =
k(Léq-L0)
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écarté de sa position
d'équilibre le ressort oscille : L=
Léq +x
mg-k(L-l0)= m
d²x/dt²
mg-k( Léq
+x-l0)= m d²x/dt²
mg-k( Léq -l0) -
kx =m d²x/dt² ; or mg =
k(Léq-L0)
m
d²x/dt² + k x=0
(1)
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- Pulsation
w0
( rad s-1) :
w0
= [k/m]½ d'où
l'écriture de (1) : d²x/dt² +
w20
x = 0 ou x"
+w20
x =0.
(1)
- La solution de cette
équation peut se mettre sous la
forme x(t)=A cos(Bt) ou
A et B sont des constantes positives non nulles :
Calcul de B pour que x(t)=AcosBt soit solution de
l'équation différentielle.
dériver deux fois par rapport au temps :
x' = AB (-sin (Bt) ; x" = -AB2cos(Bt)
repport dans (2) : -AB2cos(Bt) +
w20A
cos(Bt) =0 ;
B=w0
On éloigne la masse de sa position d'equilibre
d'une quantité d, on a donc à t=0, x(0)=d
;
à partir de cette condition initiale,on
détermine la constante A en fonction des
données du problème.
x(t=0)=A cos(0) = d soit
A=d.
Le mouvement de la masse est un mouvement rectiligne
sinusoïdal, sans amortissement.
- On considere que le
mouvement est amorti par
un frottement visqueux
de coefficient f. On précise alors que la force de
frottement visqueux est proportionelle à la
vitesse.
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écrire
cette loi sur un axe vertical dirigé vers
le bas ; l'origine de l'axe est la position
d'équilibre stable du système
masse ressort :
L= Léq +x
mg-k(L-l0)-2lv=
m d²x/dt²
mg-k( Léq
+x-l0)-k'v= m
d²x/dt²
mg-k( Léq -l0) -
kx -k'v =m d²x/dt² ; or mg =
k(Léq-L0)
m d²x/dt²
+k'v + k
x=0
avec v = dx/dt =
x'
m
d²x/dt² +k'x' + k x=0
(3)
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(3 ) peut s'écrire : d²x/dt² +k'/ m x'
+ k/ m x=0
or w20
= k/m ; on pose 2l=
k'/m ;
d'où :
d²x/dt²
+2l
x' + w20
x=0 (4)
Dimension de l
:
d²x/dt² a la
dimension d'une accélération (m/s²) ou
bien : [d²x/dt²]= L T-2.
chaque terme de la somme de l'équation (4) a donc
la dimension d'une accélération
de plus x' ou dx/dt a la diension d'une vitesse ( m/s)
soit [x']=L T-1.
[2lx']
= L T-2 ; [x']=L T-1 ;
d'où
[l]
= T-1 ( inverse
d'un temps)
- En fonction du signe
du discriminant D
les solutions de cette équation
sont :
x" +2l
x' + w20
x=0
équation caractéristique associée :
r²+2lr+
w20
=0
D=4(l2-
w20
)
si D
<0 : pulsation
w² = w0²
-l²
solution :
x = B exp( -lt) sin
(wt+j),
régime pseudopériodique ( amortissement
faible)
si D
=0 : r =
-l
; solution
: x = (At+B )exp(
-lt) ; régime
critique.
si D
>0 :
r1 = -l+
w ;
r2 =
-l- w
;
solution :
x = C1 exp(
r1 t) +
C2 exp( r2
t) ; régime
apériodique.
- Vérifions que
x(t) est solution de l'équation
différentielle
: ( si D>0)
dériver par rapport au temps x'(t) = C1
r1exp(
r1 t) +
C2 r2
exp( r2 t)
dérivée seconde : x"= C1
r21exp(
r1 t) +
C2 r22
exp( r2
t)
repport dans x"
+2l
x' + w20
x=0
C1
r21exp(
r1 t) +
C2 r22
exp( r2
t)+2l[C1
r1exp(
r1 t) +
C2 r2
exp( r2
t)]+
w20[C1
exp( r1 t) +
C2 exp( r2
t)]=0
[
r21+2lr1
+ w20
]C1exp(
r1 t) + [
r22+2lr2
+ w20
]C2exp(
r2 t) =0 (5)
Or [
r21+2lr1
+ w20
] = [
r22+2lr2
+ w20
] =0
(5) est donc bien vérifiée quel que soit t
: x = C1 exp( r1
t) + C2 exp(
r2 t) est bien
solution de (4)
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