Aurélie 26/11/07
 

Satellites d'observation bac Amérique du sud 2007

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Les satellites d'observation sont des objets spatiaux en orbite circulaire autour de la Terre. Leur mission principale est d'effectuer des observations de l'atmosphère, des océans, des surfaces émergées et des glaces, et de transmettre à une station terrestre les données ainsi obtenues.

ENVISAT : un satellite circumpolaire.

C'était le plus gros satellite européen d'observation lors de son lancement le 1er mars 2002. Ses capteurs peuvent recueillir des données à l'intérieur d'une bande de largeur au sol de 3000 km permettant une observation biquotidienne de l'ensemble de la planète.

Données : constante de gravitation universelle : G = 6,67 10 -11 SI ; ENVISAT : masse : m = 8200 kg

altitude moyenne : h = 800 km ; orbite contenue dans un plan passant par les pôles

TERRE : masse : M = 5,98 1024 kg ; rayon : R = 6,38 103 km ; période de rotation propre : 1436 minutes

On rappelle l'expression de la valeur de la force d'interaction gravitationnelle entre deux corps de masse mA et mB , de centres A et B, de répartition de masse à symétrie sphérique, distants de d = AB :

F = GmAmB / AB2.

Représenter la force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre (sa répartition de masse étant supposée à symétrie sphérique) sur le satellite supposé ponctuel et noté B. Donner l'expression vectorielle de cette force en représentant le vecteur unitaire choisi :

Calculer la valeur de cette force.

AB = R+h = 6,38 103 + 800 = 7180 km = 7,18 106 m.

F= 6,67 10 -11 *5,98 1024*8200 / (7,18 106)2 =6,34 104 N.

En considérant la seule action de la Terre, établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, en fonction de M, h et R.

Le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète exercée par la planète

M : masse (kg) de la planète ; m : masse du satellite (kg) ; R (m) rayon planète ; h (m) altitude depuis le sol

Représenter, sans souci d'échelle, le vecteur accélération à trois dates différentes correspondant aux positions A, B et C du satellite.



Montrer que, dans le cas d'un mouvement circulaire, dont on admettra sans démonstration qu'il est uniforme, la vitesse du satellite a pour expression :

v = [GM / (R+h)]½.

Suivant l'axe n la seconde loi de Newton s'écrit : GMm /(R+h)² = m aN

Or aN =v²/ (R+h)

d'où GMm /(R+h)² = mv²/ (R+h)

Valeur de la vitesse (m/s): v² =GM / (R+h).

v = [GM / (R+h)]½.

Calculer la vitesse du satellite en km.s-1.

v = [6,67 10 -11 *5,98 1024 / 7,18 106]½ =7,4533 103 m/s = 7,45 km/s.

Donner l'expression de la période de révolution du satellite en fonction de sa vitesse et des caractéristiques de la trajectoire R et h.

La période de révolution T du satellite (seconde) est le temps mis par le satellite pour faire un tour et ce d'un mouvement uniforme.

2 p (R+h) =vT

élever au carré, puis remplacer v² par l'expression ci dessus.

4p² (R+h) ² = v² T² = GM/ (R+h) T²

ou T² =4p² /(GM)(R+h)3.

soit T² /(R+h)3 = 4p² / (GM) rapport constant pour une planète donnée.(3ème loi de Kepler)

distance en mètre, période en seconde, masse en kg.

T = 2p (R+h)3/2 / (GM)½.

Calculer sa valeur.

T2 = 4*3,142 *(7,18 106)3 / (6,67 10 -11 *5,98 1024 ) =3,6635 107 s2.

T =(3,6635 107 )½= 6,05 103 s.




METEOSAT 8 : un satellite géostationnaire
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Ce satellite a été lancé par ARIANE 5 le 28 août 2002. Il est opérationnel depuis le 28 janvier 2004.

La position d'un satellite géostationnaire parait fixe aux yeux d'un observateur terrestre. Situé à une altitude H voisine de 36000 km, il fournit de façon continue des informations couvrant une zone circulaire représentant environ 42% de la surface de la Terre.

Donner les trois conditions à remplir par METEOSAT 8 pour qu'il soit géostationnaire.

- L'orbite est dans le plan équatorial de la terre.

- Le satellite tourne dans le même sens que la terre.

- Le satellite et la terre ont la même vitesse angulaire.

Troisième loi de Kepler dans le cas général d'une trajectoire elliptique :

Pour tous les satellites, le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe r de sa trajectoire est le même :

T2/r3 = constante = K.

Dans le cas d'une trajectoire circulaire r correspond au rayon de la trajectoire.

En utilisant les réponses aux questions précédentes, établir l'expression de la constante K en fonction de G et M pour les satellites étudiés.

La période de révolution T du satellite (seconde) est le temps mis par le satellite pour faire un tour et ce d'un mouvement uniforme.

2 p (R+h) =vT

élever au carré, puis remplacer v² par l'expression ci dessus.

4p² (R+h) ² = v² T² = GM/ (R+h) T²

ou T² =4p² /(GM)(R+h)3.

soit T² /(R+h)3 = 4p² / (GM) rapport constant pour une planète donnée.(3ème loi de Kepler)

Calculer K dans le système international d'unités.

K = 4*3,142/ (6,67 10 -11 *5,98 1024 )=9,90 10-14 SI.

En déduire, pour METEOSAT 8, la valeur de R+h, puis celle de h.

T= 1436 min = 1436*60 = 8,616 104 s ; T2 =7,4235 109 s2.

(R+h)3 =  T² /K =7,4235 109 / 9,90 10-14 =7,498 1022

R+h =4,22 107 m = 4,22 104 km.

h = 4,22 104-6,38 103 = 3,58 104 km.



 

La mise en place du satellite sur l'orbite géostationnaire s'effectue en plusieurs étapes.

Tout d'abord, ARIANE 5 amène le satellite hors de l'atmosphère et le largue sur une orbite de transfert. L'orbite de transfert parcourue par le satellite est une ellipse dont le périgée P se situe à une altitude voisine de 200 km et l'apogée A à l'altitude de l'orbite géostationnaire voisine de 36000 km.

Ensuite le " moteur d'apogée " du satellite lui permettra d'obtenir la vitesse nécessaire à sa mise sur orbite géostationnaire lors des passages successifs par l'apogée.

A l'aide des données ci-dessus, calculer la longueur r du demi-grand axe de la trajectoire sur cette orbite de transfert.

2 r = R+200 + R +36000 = 2R+36200

r = R+18100 = 6380+18100 = 2,448 104 km = 2,45 104 km.

A l'aide de la troisième loi de Képler, en déduire la période T du satellite sur cette orbite de transfert.

 T²=K(R+h)3 = K r3 = 9,90 10-14 *(2,448 107)3 =1,32 109

T=(1,32 109)½ = 3,63 104 s.

 





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