Aurélie 11/06/07
 

Oscillations électriques forcées, résonance d'intensité, bande passante Capes 2000

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptés à vos centres d’intérêts.

 



Google


Un dipôle Ab est constitué d'un conducteur ohmique de résistance R, d'une bonine d'inductance L, de résistance négligeable et d'un condensateur de capacité C branchés en série. Il est alimenté par un générateur basse fréquence, supposé idéal, qui délivre une tension alternative sinusoïdale u(t) de valeur efficace U0.

u(t) = U0 2½ cos (wt) où w est la pulsation ( rad/s) et t le temps (s).

 Etude de la tension v(t) aux bornes du condensateur :

Relation entre la charge q(t) et v(t) : q(t) = C v(t).

Relation entre i(t) et q(t) : i(t) = -dq/dt.= -C dv(t) / dt.

On pose w0 = (LC) et Q0 = 1/R [L/C]½.

Si R= 135 W, L=0,04 H, C= 22 nF :

w0 = (0,04*22 10-9) ; w0 = 3,37 104 rad/s.

Q0 = 1/135 [0,04/22 10-9]½ ; Q0 =10.

Equation différentielle vérifiée par v(t):

Additivité des tensions : v(t) = u(t)+ Ldi/dt + Ri

Or Ldi/ dt = -LC d2v/dt2 = -LC v"(t)

v(t) = u(t) -LC v"(t)- RC v'(t)

v(t)= u(t) -w0-2 v"(t) -(Q0w0)-1 v'(t)

v(t) +w0-2 v"(t) +(Q0w0)-1 v'(t) = u(t)

Multiplier chaque terme par w02 :

v"(t) +w0/Q0 v'(t)+ w02v(t) = w02 u(t).




Etude du régime forcé :

 Le GBF impose sa fréquence au dipôle AB ; celui-ci est "forcé" à osciller à la fréquence du générateur.

Le régime transitoire est de courte durée : 5 t = 5 RC = 5*135*22 10-9 = 15 ms.

En visualisant v(t) à l'oscilloscope, on observe une sinusoïde décalée par rapport à u(t) :

v(t) = V0 2½ cos (wt+ j ) avec j phase de v(t) par rapport à u(t).

On note u(t) et v(t) les nombres complexes associés aux tensions u(t) et v(t).

Expression de la fonction de transfert H(jw) = v(t) / u(t) en fonction de Q0 et x= w /w0 :

A la dérivée par rapport au temps correspond  la multiplication par jw.
grandeur physique
v"(t)
w0/Q0 v'(t)
w02v(t)
w02 u(t)
nombre complexe associé
(jw)2v(t) = -w2v(t)
w0/Q0 jw v(t)

jww0/Q0 v(t)

w02 v(t)
w02 u(t)
L'équation différentielle s'écrit alors :

-w2v(t) + jww0/Q0 v(t) +w02 v(t) = w02 u(t)

Diviser chaque terme par w02 et remplacer w /w0 par x :

(-x2 + jx/Q0 +1 )v(t)= u(t)

H(jw) = v(t) / u(t) = [1-x2 + jx/Q0 ]-1.

Multiplier numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée : 1-x2 - jx/Q0 :

H(jw) =(1-x2 - jx/Q0) / [(1-x2 )2 +(x/Q0)2 ]

Expression de j :

L'argument du nombre complexe H(jw) est égal au déphasage j :

j = arctan [-x / (Q0(1-x2)) ].

Calcul de j si w= 31500 rad/s :

x = 31500 / 3,37 104 = 0,935 ; Q0 = 10.

j = arctan[-0,935 / ( 10(1-0,9352)) = arctan (-0,740) ; j = -36,5 °.


 


Etude de la résonance en intensité :

Expression de l'impédance complexe Z du dipôle AB en fonction de R, Q0 et x :

z = R + jLw-j/(Cw)

or w0 = (LC) et Q0 = 1/R [L/C]½.

w0Q0 = 1/(RC) soit 1/C = Rw0Q0 ; w0 / Q0 =R/L soit L =R Q0/ w0.

z =R + jRQ0w/ w0 -jR Q0 w0/w ; z = R[ 1+jQ0(x-1/x)].

module de z : Z = R [1 +Q02(x-1/x)2 ]½.

Valeur de Z si w = 31500 rad/s : x = 0,935 ; Q0 = 10.

Z = 135[1+100(0,935-1/0,935)2]½ =226 W.

L'impédance passe par une valeur minimale égale à R si x=1, c'est à dire si la pulsation du générateur est égale à la pulsation propre du dipôle RLC.

En conséquence si la valeur efficace de la tension du GBF est constante, l'intensité passe par une valeur maximale I0 si x=1. On dit il y a résonance d'intensité.

Calcul de I0 si U0 = 5,4 V :

I0 = U0/R = 5,4 / 135 = 0,04 A.

Tension efficace V0 aux bornes du condensateur à la résonance d'intensité :

impédance du condensateur : 1/(Cw0) = 1/(22 10-9 *3,37 104) = 1349 W ;

V0 = I0 /(Cw0) = 0,04*1349 = 54 V.

On observe une surtension ( égale à Q0U0) aux bornes du condensateur, à la résonance d'intensité.


Bande passante :

La bande passante à 3 dB est l'ensemble des pulsations telles que l'intensité I soit supérieure ou égale à I0 2.

La largeur de la bande passante est notée Dw.

Expression des pulsations de coupures, notées w1 et w2 :

Si I= I0 2 alors Z = U0/I = 2½ U0/ I0 =2½ R

Or Z = R [1 +Q02(x-1/x)2 ]½.

d'où 2 = 1 +Q02(x-1/x)2

1/ Q02 = (x-1/x)2 ; x-1/x =+1/ Q0 et x-1/x =-1/ Q0

x2 -x/Q0 -1 =0 ; solution positive x2 = 0,5( 1/ Q0 + [1/ Q02+4]½) ; w2= 0,5w0 ( 1/ Q0 + [1/ Q02+4]½)

x2 +x/Q0 -1 =0 ; solution positive x1 = 0,5( -1/ Q0 + [1/ Q02+4]½) ; w1= 0,5w0 ( 1/ Q0 + [1/ Q02+4]½)

w2- w1 = w0 / Q0.

 

 
retour -menu