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Etude d'un satallite dans le champ gravitationnel terrestre concours ITPE 2006 |
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Qu'appelle t-on interaction newtonienne ? Donner deux exemples. L'interaction de type newtonienne s'exprime sous la forme k/r2. ( k est une constante) Gravitation ( attractive) k = -GMm Electrostatique ( Coulomb) : attractive ou répulsive : k= q1q2 / (4pe0). Les forces newtoniennes sont des forces centrales. Préciser ce terme. Citer des forces centrales qui ne sont pas newtoniennes. La direction de la force passe par un point unique O. La force est indépendante du temps. La force ne dépend que de la distance r=OM. La force linéaire de Hooke est " centrale", non "newtonienne" :
Les forces proportionnele à rp sont centrales, non newtoniennes. On considère un point matériel M de masse m, soumis à une force centrale. Montrer que le moment cinétique L0 de la particule M par rapport au centre de force O est constant dans le temps. Conclure. Théorème du moment cinétique en O.
Le moment cinétique étant un vecteur constant, la trajectoire est plane, contenue dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique. Qu'appelle t-on "loi des aires". C= L0/m est
la constante des aires. La trajectoire est
parcourue suivant la loi des
aires. Dans
un mouvementà force centrale, le rayon
vecteur balaie des aires égales pendant des
durées
égales. On assimile la terre à une sphère homogène de centre O, de rayon R et de masse M. L'objet de l'étude est un satellite terrestre S, assimilable à un point matériel de masse m, soumis au champ gravitationnel terrestre. A quelle condition peut-on supposer que le mouvement du satellite peut s'étudier dans un référenteil galiléen lié à la Terre ? Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet isolé est soit immobile, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Un référentiel terrestre est galiléen dans la mesure où l'expéreince est de courte durée. Le référentiel géocentrique ( solide formé par le centre de la terre et les centres d'étoiles lointaines qui semblent fixes) est commode pour l'étude des satellites de la terre. Ce référentiel est galiléen pour des durées inférieures à 1 jour ( on peut alors négliger la rotation de la terre autour du soleil). Par la suite on étudie S dans un référentiel galiléen lié à la terre. On utilise le repère cylindrique. On note r la distance OS et v le module de la vitesse de S dans ce référentiel. Utiliser le thèorème de Gauss pour calculer le champ gravitationnel terrestre en tout point de l'espace.
On choisit comme surface S est une sphère de rayon r : S = 4pr2.
Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers O. En déduire le potentiel gravitationnel V associé. Le champ de gravitation dérive d'un potentiel scalaire V :( ce potentiel est nul à l'infini )
Expression de l'énergie mécanique du satellite. L'énergie mécanique E est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
avec C= r2q ' constante des aires.
Le terme ½mr'² représente l'énergie cinétique d'une particule de masse m effectuant un mouvement suivant r : énergie cinétique radiale. Tracer l'allure de Eeff (r) en fonction de r.
Les trajectoires associées à une interaction newtonienne sont des coniques. Préciser la nature de la conique-trajectoire en fonction du signe de E. On pose |E|=E0. E>0 et e >1 : hyperbole E=0 et e=1 : parabole -Eeff mini < E <0 et 0<e<1 : ellipse E= -Eeff mini : cercle E< -Eeff mini : mouvement impossible ; l'énergie initiale est insuffisante pour satelliser S.
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k : raideur d'un ressort.
