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Une voiture roule à 50 km/h sur une route horizontale rectiligne. Elle freine et s'arrête au bout de 40 m. La force de frottement est supossée de valeur constante, colinéaire à la vitesse et de sens contraire. Quelle serait la distance de freinage si la vitesse était égale à 80 km/h ?

L'action du plan et le poids, perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas. Travail des frottements au cours du déplacement AB : f AB cos 180 = -f AB Variation de l'énergie cinétique : 0-½mv² Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : -½mv² = -f AB ½mv²=f AB La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse. D'où [80/50]² = AB/40 ; AB= 40 [80/50]² = 102 m.

Un solide de masse m= 300 kg glisse sur une plan incliné d'un angle a= 25° par rapport à l'horizontale. Il est retenu à l'aide d'une corde parallèle au plan incliné. Il decend d'un distance AB=4,5 m à vitesse constante. Le coefficient de frottement vaut k=0,4 = R_T/R_N avec R_N composante normale de l'action du plan et R_T composante parrallèle au plan de l'action du plan.

Calculer la tension de la corde, et les travaux des forces.

tension F de la corde :

Projection de la somme vectorielle des forces sur un axe perpendiculaire au plan, orienté vers le bas : P cos a-R_N=0

soit R_N = mgcos a = 300*9,8*cos25 = 2664 N

Or 0,4 = R_T/R_N d'où R_T=0,4 R_N = 1066 N

Projection de la somme vectorielle des forces sur un axe parallèle au plan, orienté dans le sens du mouvement :

P sin a-R_T-F=0 ; F= mgsina-R_T = 300*9,8*sins25 - 1066 =176 N.

Travaux des forces :

R_N perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

Travail moteur du poids : mgABsin a = 300*9,8*4,5 sin25 = 5591 J.

Travail résistant de F : F AB cos 180 = - 176*4,5 = -792 J.

Travail résistant de R_T : R_T AB cos 180 = - 1066*4,5 = -4797 J.

raideur du ressort k = 400 N/m ; masse de la balle m = 20 m ; déformation du ressort : Dl= 10 cm ; a = 60°par rapport à l'horizontale.

Calculer la vitesse de sortie v₀ de la balle, l'altitude h atteinte, la vitesse horizontale de la balle à cette altitude.

vitesse de sortie v₀ de la balle :

Travail moteur de la tension du ressort : ½kDl² = 0,5*400*0,1² = 2 J

travail résistant du poids : - mg Dl sin a = 0,02 *9,8*0,1 sin 60 = -0,017 J

Lorsque la tension du ressort s'annule la bille est ejectée à la vitesse v telle que la variation d'énergie cinétique soit égale à la somme des travaux des forces:

½mv₀² = 2-0,017 = 1,983 J ; v₀ ² = 2*1,983/0,02 = 198,3 ; v₀ = 14,1 m/s.

vitesse horizontale de la balle :

La bille est en chute libre avec une vitesse initiale v₀ inclinée de 60° par rapport à l'horizontale.

Le poids étant vertical, il modifie la composante verticale de la vitesse.

Par contre la composante horizontale de la vitesse intitale reste inchangée et vaut v = v₀ cos 60 = 14,1 cos60 = 7,05 m/s.

altitude h atteinte :

Travail résistant du poids ( montée ) : -mg h

variation d'énergie cinétique : ½mv²-½v₀²

théorème de l'énergie cinétique : ½mv²-½v₀² = -mgh

v₀² - v² = 2gh ; h = (v₀² - v²) / (2g)

h = (14,1²-7,05²) / (2*9,8) = 7,6 m.