Détermination de la capacité d'un condensateur ( bac S Asie 2009)

On se propose de déterminer la capacité d'un condensateur à partir de deux méthodes différentes. On dispose du matériel suivant : - un générateur de tension continue e = 20 V - une boîte de résistance étalonnées R(x1 W, x10 W, x100 W, x1000 W ) - une bobine idéale d'inductance L 0,50 H et de résistance nulle - un condensateur de capacité C inconnue - un ordinateur relié au montage par une interface et permettant d'enregistrer des variations de tensions et d'intensité au cours du temps - un interrupteur et des fils de connexion sécurisés. Méthode 1. A l'aide d'un ordinateur on enregistre les variations au cours du temps des deux tensions u1 et u2 à partir de l'instant de la fermeture de l'interrupteur, choisi comme origine des dates. On donne les graphes obtenus pour différentes valeurs de la résistance R.   Compléter le tableau en indiquant danns chaque case, le numéro de la courbe qui convient. R(ohms) 400 800 1200 1600 courbe représentant u1 1 1 1 1 courbe représentant u2 2 3 4 5 La durée de la charge est environ égale à 5 RC : la durée de la charge est d'autant plus grande que R est grand ( à capacité constante).  Compléter le tableau ci-dessous après avoir déterminé la constante de temps t correspondant à R = 1600 ohms en expliquant la méthode utilisée. R(ohms) 400 800 1200 1600 t(s) 0,06 0,14 0,21 2*0,14 =0,28 A capacité constante, si la résistance double, la constante de temps double. Donner l'expression de la constante de temps en fonction des caractéristiques du circuit. Justifier son unité par analyse dimensionnelle. t = RC ; R a la dimension d'une tension divisée par une intensité : [R] = [U] [I]-1. q = C U et dq= i dt ; C = q / U : [C] = [I] [T] [U]-1. par suite : [R C] = [T]. Tracer le graphe représentant t en fonction de R. En déduire C en expliquant la méthode utilisée. Or t = RC, le coefficient directeur de la droite ci-dessus correspond à la capacité C. Donc C ~1,8 10-4 F.   Web www.chimix.com Méthode 2. Le condensateur chargé sous une tension E = 20 V est maintenant placé en série avec la résistance R et la bobine idéale d'inductance L= 0,50 H et de résistance nulle. A la date t=0, on ferme l'interrupteur. L'ordinateur permet de suivre les variations au cours du temps de la tension uC et de l'intensité i. On donne ci-dessous plusieurs courbes représentant les variations de uC en fonction de la valeur de R. Compléter le tableau suivant en associant chaque courbe à la valeur de R et donner le nom du régime de décharge. R(ohms) 2 10 1000 courbe représentant uC c a b nom du régime de décharge pseudo-périodique pseudo-périodique apériodique Etablir l'équation différentielle vérifiée par la fonction uc(t) si R=0. Additivité des tensions : uR + uL + uC = 0 avec uR = Ri = 0 et uL = Ldi/dt De plus i = dq/dt et di/dt = d2q/dt2 ; Enfin q = Cuc avec C une constante : di/dt = Cd2uc/dt2 ; par suite : LCd2uc/dt2 + uC = 0. L'ordinateur donne la courbe suivante : Déterminer la période propre T0 et donner son expression en fonction des caractéristiques du circuit. T0 = 0,180/3 = 0,060 = 6,0 10-2 s. T0 = 2 pi (LC)½. En déduire la valeur de C. On donne pi2 ~ 10 ; 0,0602 ~3,6 10-3. T20 = 4 pi2 (LC) ; C = T20 /( 4 pi2 C) = 0,0602 / (40*0,50) C =3,6 10-3 / 20 = 1,8 10-4 F.

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