Aurélie 01/02
pendule simple

kiné Rouen 2001


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 Un pendule simple est constitué d'une boule de masse M et d'un fil inextensible de masse négligeable devant M. Ce fil a pour longueur L. On note g l'intensité de la gravitation du lieu de la manipulation et a l'angle décrit par le fil et la verticale passant par la position d'équilibre du pendule.

  1. Dans le cas des faibles amplitudes, donner l'expression littérale de la période T0 de ce pendule puis la calculer.
  2. Exprimer en fonction de M, L, g et V (la vitesse du mobile à une position quelconque) les énergies cinétique et potentielle du système. Le niveau de référence choisi étant celui de la position d'équilibre du pendule.
  3. L'amplitude des oscillation étant a f, exprimer en fonction des données puis calculer V' du mobile à son passage à la verticale ( on suppose dans cette question qu'il n'y a pas de perte d'énergie).
  4. Exprimer à cette même position la tension du fil et la calculer.
  5. En supposant aucune perte d'énergie dans le cas des faibles amplitudes, retrouver l'équation différentielle vérifiée par a .
  6. En réalité l'amortissement est tel que l'angle a passe de a i en une durée D t. Quelle serait la variation de température d'une masse m d'eau qui recevrait toute l'énergie ainsi dissipée.
  7. Exprimer en fonction des données la puissance d'un réchaud électrique fournissant la même énergie dans les mêmes conditions puis la calculer.
  8. Considérant une même variation d'amplitude au cours de l'amortissement et supposant le dispositif réalisable, proposer deux façons de modifier le pendule pour réduire de 1°C la variation de température de l'eau.

Données : M=30 kg ; L=4m ; g=10 m/s² ; a f = 41,4° ; a i = 10° ; D t =1 min ; m=10g ; capacité thermique de l'eau c = 4,18 kJ kg-1 K-1. g= 10 m/s².

 


corrigé

T = période (s) = 2p racine carrée (L /g) avec L en mètre.

T =6,28 (4 / 10)½ = 4 s.


la tension du fil perpendiclaire à la vitesse ne travaille pas

de A à B travail du poids = mg L(1 -cos a )

de A à B variation d'énergie cinétique ( vitesse initiale en A nulle) : ½mv².

théorème de l'énergie cinétique : ½mv² = mg L(1 -cos a )

v² = 2 gL(1 -cos a ).

v² =2*10 *4( 1- cos 41,4) = 20,2 et v = 4,5 m/s.


tension du fil en B :

en remplaçant v² par l'expression ci-dessus : T= m[ g + 2 g(1 -cos af )]

T = mg( 3-2 cos a ) = 30*10 ( 3 - 2 cos 41,4) = 450 N.


équation différentielle :

l'énergie mécanique reste constante : ½mv² + mgL(1-cos a ) = Cte

dériver par rapport au temps : (u²)' = 2uu' et (cos a )' = - sin a a'

½ m 2v v' + mgL sin a a ' = 0

v v' + gL sin a a ' = 0

or v = a ' L et v' = a '' L

a '' L + g sin a = 0

si a petit alors sin a voisin de a

a '' L + g a = 0 .


amortissement :

énergie potentielle initiale : mgL(1-cos af )

au bout d'un temps Dt : mgL(1-cos ai )

diminution d'énergie : |DE|= mgL(cos ai - cos af )

|DE|= 30*10*4 ( cos10-cos41,4) = 280 J

énergie nécessaire pour élever une masse m (kg) d'eau de Dq degré sans chagement d'état physique :

m ceau Dq = m 4180 Dq = 280

m = 0,01 kg d'où Dq =280 /(0,01*4180) = 6,7 °.


puissance :

puissance (watt) = énergie (J) / durée (s)

P = 280 / 60 = 4,67 W.


nouvelle valeur de l'énergie perdue : Dq = 5,7 °

|DE| = 0,01 *4180*5,7 = 238,2 J

cette énergie est perdue en 60 s soit en 60/4 = 15 périodes

à chaque période, au passage au point le plus haut racourcir un peu la longueur du fil en tirant sur le fil

au point le plus bas laisser le fil reprendre sa longueur initiale ( système du pendule de Compostelle)


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