Frédéric décide d'utiliser ces connaissances en mécanique pour étudier le mouvement de la flèche tirée par son pistolet. Négligeant l'action de l'air et prenant g=10 m/s², il considère la fléche comme un objet ponctuel de masse m= 50g et de vitesse initiale v₀. La flèche est tirée d'un point M, à la distance d au dessus du sol, avec une vitesse v₀ inclinée d'un angle a sur l'horizontale.

Etude théorique du mouvement de la flèche:

1. Etablir sous forme littérale les équations horaires du mouvement de la flèche après son lancement. L'instant initial est celui où la flèche se trouve au point M.
2. En déduire l'équation de la trajectoire et sa nature.
3. Johann se trouve sur le sol horizontal à 15 m devant le point O: risque t-il de recevoir la flèche si celle ci est tirée depuis le point M₁ (d₁ = 1,5 m) avec une vitesse initiale v₀ =10 m/s et a=40° ?

détermination expérimentale de v₀ :

1. tir vertical : le pistolet est en M₂ tel que d₂ = 1,7 m. La fléche retombe sur le sol 2,2 s après son départ. Calculer la valeur de la vitesse initiale en utilisant les équations précédentes.
2. tir horizontal :
   Le pistolet est maintenu horizontal en M₃ tel que d₃ = 1,2 m. La flèche touche le sol en un point B qui appartient au même plan que O, à une distance de O égale à 4,9 m. Calculer la valeur de la vitesse initiale en utilisant les équations précédentes.
3. étude énergétique du système ressort-flèche :
   - Le ressort qui se trouve à l'intérieur du pistolet est horizontal, de masse négligeable devant la masse de la flèche, de constante de raideur k =220 N/m. Sa longueur à vide est l₀=20 cm et sa longueur minimale est l_m=5 cm. l'énergie potentielle élastique d'un ressort est Ep= ½kDl² , Dl est la variation de longueur du ressort. Donner l'expression de l'énergie mécanique de ce système en fonction de Dl, de la vitesse de la flèche (tant qu'elle reste en contact avec le ressort) .
   - En déduire la valeur de la vitesse v₀ de la flèche lorsqu'elle se sépare du ressort.