On considère un ressort à spires non jointives d'axe horizontal, de raideur k. L'extrémité A du ressort est fixe. Un solide S, de masse m = 250 g, est accroché à l'autre extrémité du ressort et se déplace sans frottement sur un banc à coussin d'air horizontal

La masse du ressort est négligeable devant m. On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide, dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. On repère la position de G par son abscisse x sur un axe horizontal x'x d'origine O :

le point O correspond à la projection de la position de G à l'équilibre.

Etude théorique :

1. En appliquant le théorême du centre d'inertie, établir l'équation différentielle admettant x(t) comme solution.
2. En déduire l'expression de la pulsation propre w₀ en fonction des caractéristiques de l'oscillateur.
3. Une solution de l'équation différentielle précédente peut être écrite sous la forme : x(t) = X_m cos( 2p/T₀ t + j ) dans laquelle X_m est l'amplitude du mouvement et j la phase à l'origine des dates.
   - En déduire l'expression littérale de la coordonnée v_x du vecteur vitesse du point G en fonction du temps.
   -Donner les expressions littérales de l'abscisse x(0) et de la coordonnée v_x(0) à l'origine des dates, en fonction de X_m, T₀ et j.

Etude expérimentale :

Deux expériences notées 1 et 2 ont été réalisées, avec le même solide S. Pour chaque expérience, l'origine des dates coïncide avec l'instant où le solide S est abandonné ou lancé, après avoir été écarté de sa position d'équilibre. A chaque expérience correspond un enregistrement ; les figures ci dessous donnent les variations de x en focntion du temps t. Le numéro de la figure est identique à celui de l'expérience.

1. A partir des enregistrements des figures 1 et 2, traiter sans justification, les questions ci-dessous en reportant les réponses dans le tableau ci dessous :
   

   expérience	1	2
   T0	.....................	.......................
   Xm
   x(0)
   vx(0)
   ressort

   
   - Déterminer les valeurs de T₀, X_m et x(₀).
   - Déterminer si v_x(0) est nulle, positive ou négative.
   - Parmi les termes suivants, choisir, sans justification, ceux qui décrivent les conditions initiales relatives au ressort : comprimé, étiré ou non déformé.
2. Justifier que l'enregistrement de la figure 2 ci-dessus a été obtenu en utilisant le même ressort que celui de l'expérience 1.
3. On désigne par E_m l'énergie mécanique du système {ressort + solide + Terre} (système encore noté {ressort + solide} dans le champ de pesanteur). L'énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G.
   - Etablir l'expression littérale de E_m en fonction de l'amplitude X_m.
   - On désigne par E_m1 et E_m2 l'énergie mécanique du système respectivement pour les expériences 1 et 2. Parmi les propositions suivantes, choisir, en justifiant, celle qui convient : E_m2 / E_m1 =1 ; E_m2 / E_m1 =2 ; E_m2 / E_m1 =4
4. Comparer, sans les calculer numériquement, les énergie potentielles élastiques E_p1(0) et E_p2(0) du système {ressort + solide + Terre} à la date t₀ = 0 s pour ces deux enregistrements. Justifier la réponse.

 

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corrigé

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avec w₀² = k/m

vitesse : dérivée de l'abscisse par rapport au temps

x(t) = X_m cos( 2p/T₀ t + j )

v_x(t) = - X_m 2p/T₀ sin( 2p/T₀ t + j )

x(0) = X_m cos( j )

v_x(0) = - X_m 2p/T₀ sin( + j )

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expérience	1	2
T0	2 s	2 s
Xm	2 cm	4 cm
x(0)	2 cm	-2 cm
vx(0)	0	positive
ressort	étiré	comprimé

les deux enregistrements ont été effectués avec le même système {ressort + masse }car la période est la même : la période ne dépend que de la raideur du ressort et de la masse accrochée à ce ressort. Par contre les conditions initiales étaient différentes.

énergie mécanique = énergie potentielle + énergie cinétique

E_m = ½kx² + ½mv²

E_m = ½kX²_m cos²( 2p/T₀ t + j ) + ½m X²_m [2p/T₀ ]² sin²( 2p/T₀ t + j )

or m [2p/T₀ ]² = m w₀² = k

E_m = ½kX²_m cos²( 2p/T₀ t + j ) + ½ k X²_m sin²( 2p/T₀ t + j )

E_m = ½kX²_m [cos²( 2p/T₀ t + j ) +sin²( 2p/T₀ t + j )]=½kX²_m.

l'amplitude X_m2 ( expérience 2) est le double de l'amplitude X_m1 ( expérience 1) l'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude : donc E_m2 / E_m1 =4.

l'énergie potentielle est proportionnelle au carré de l'abscisse : Ep = ½kx²

or à t=0 , dans les deux expériences l'abscisse initiale a même valeur absolue : |x₁(0) |= |x₂(0) | =0,02 m

donc E_p1(0) = E_p2(0).

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