Un photocopieur permet la reproduction d’un document original de surface S. Le système optique comporte entre autre un objectif constitué de plusieurs lentilles. L’image de l’ original est recueillie sur un tambour photosensible.

Si g est le grandissement du système optique, la surface S’ de la photocopie est : S' = g²S.

L’objectif du système optique est modélisé à l’aide du matériel d’optique d’un lycée. On place sur un banc optique :

• à une extrémité, un objet lumineux AB représentant le document original,
• à une distance fixe (128,6 cm) de AB, un écran qui représente le tambour photosensible, et sur lequel doit se former l’image définitive A’B’.

L’axe optique principal est orienté dans le sens de propagation de la lumière. O est le centre optique de la lentille, A un point objet placé sur l’axe principal, A’ le point image de A et F’ le foyer principal image.

L’objectif est assimilé à une lentille mince convergente L de centre optique O et de distance focale f '.

1. On souhaite obtenir une photocopie de même surface que l’original. Parmi les qualificatifs suivants, choisir celui (ou ceux) qui caractérise(nt) l’image formée sur l’écran : réelle, virtuelle, droite, renversée.
2. Montrer que le centre optique O de la lentille est au milieu du segment AA’.
3. En déduire l’expression de la distance focale f ’ en fonction de mesure algébrique de AA'.

Dans ce cas l’objectif du système optique est modélisé en utilisant deux lentilles : une lentille convergente L₁ de vergence C₁=5,0 d ; une lentille divergente L₂ de vergence C₂= -3.0d .

Le centre optique O₁ de la lentille L₁ est placée à 60,0 cm de A ; la lentille L₁ donne de AB l’image A₁B₁. La lentille L₂ est placée à droite de L₁. Son centre optique O₂ est tel que mesure algébrique de O₁O₂ =8,6 cm. L₂ donne de A₁B₁ l’image définitive A’B’ sur l’écran.

1. Construire l’image A₁B₁ . Aucun calcul n’est demandé.
2. Représenter sur cette même figure l’image définitive A’B’ sachant qu’elle se forme sur l’écran.
3. En déduire le grandissement de l’association (L₁, L₂).
4. Vérifier que dans ce cas, la surface du document est sensiblement doublée.

Dans ce cas, pour modéliser l’objectif, on permute les deux lentilles précédentes L₁ et L₂. La lentille L₂ donne de AB l’image A₂B₂. La lentille L₁ donne de A₂B₂ l’image définitive A’B’ sur l’écran.

1. A l’aide de la formule de conjugaison, déterminer la position de l’image A₂B₂ .
2. En déduire que le grandissement de la lentille L₂ vaut 0,36 et que le grandissement de la lentille L₁ vaut -2,0.
3. Déterminer le grandissement de l’association (L₂,L₁).
4. En déduire que dans ce cas la surface du document est sensiblement divisé par deux.