Aurélie nov 2001
tige en rotation

travail, puissance, énergie

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Un solide ponctuel M de masse m glisse sur une tige horizontale ; cette tige tourne à la vitesse w constante autour d'un axe vertical Oz fixe. Les frottements sont négligés.

On choisit un référentiel R lié à la tige :

  1. Exprimer l'énergie cinétique et l'énergie mécanique du solide.
  2. Etablir l'équation différentielle du mouvement de M. Peut-on observer des oscillations ?
  3. Le solide M est alors relié à un ressort ( raideur k et de longueur à vide l0). Etablir l'équation différentielle du mouvement. Peut-on observer des oscillations ?

corrigé
Dans le référentiel R lié à la tige, la vitesse du point matériel s'exprime suivant :

l'énergie cinétique de M s'écrit : Ec = ½ m x'².

La tige est horizontale, alors l'énergie potentielle de pesanteur ne varie pas et on peut la choisir arbitrairement nulle ( en prenant l'origine des altitudes en O, origine du repère)

le référentiel R n'est pas galiléen, il faut tenir compte des forces d'inertie :

force d'inertie de Coriolis :

La puissance de la force de Coriolis est nulle ( la force de Coriolis est perpendiculaire au vecteur vitesse).

force d'inertie d'entraînement :

La puissance de cette force, colinéaire au vecteur vitesse n'est pas nulle : cette force dérive d'une énergie potentielle.

travail de la force d'entraînement :

l'énergie potentielle est l'opposé du travail :

dEp = -mw²x dx

Ep = -½mw²x² + Cte

On choisit l'origine de cette énergie potentielle à l'abscisse x=0, dans ce cas la constante d'intégration est nulle.

Energie mécanique de M : ½ m x'² -½mw²x²


équation différentielle du mouvement de M :

en absence de frottement l'énergie mécanique est constante ( la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est nulle)

Pour obtenir l'équation différentielle du mouvement de M, dériver l'expression de l'énergie par rapport au temps.

dérivée de x'² : 2 x" x'

dérivée de x² : 2 x x'

w est une constante.

d'où : ½ m 2 x" x' - ½ mw² 2 x x' =0

diviser par m x' chaque terme : x" -w² x =0.

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

x = A ch(wt) + B sh(wt)

A et B sont des constantes qui dépendent des conditions initiales, non indiquées dans ce problème.

Le mouvement ne peut pas être oscillatoire.


A l'énergie mécanique précédente il faut ajouter l'énergie potentielle élastique :

E = ½ k(x-l0)² + Cte

l'origine de cette énergie potentielle est prise à l'abscisse x = l0. Dans ce cas la constante est nulle.

L'énergie mécanique s'écrit alors : ½ m x'² -½mw²x² + ½ k(x-l0.

celle ci est constante en l'absence de frottement

équation différentielle du mouvement de M :

la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est nulle

Pour obtenir l'équation différentielle du mouvement de M, dériver l'expression de l'énergie par rapport au temps.

d'où : ½ m 2 x" x' - ½ mw² 2 x x' + ½ k 2 (x-l0) x' = 0

diviser par m x' , supposée non nulle, chaque terme : x" - w² x + k /m (x-l0) =0.

On pose w0² = k / m

x" - w² x + w0² x = kl0/m

x" + (w0² - w²) x = w² l0 (1)

solution particulière de l'équation avec second membre :

xe = w² l0 / (w0² - w²).

On observe des oscillations autour de cette position d'équilibre si w0² > w²

Dans ce cas, solution générale de l'équation sans second membre :

La solution générale de l'équation différentielle (1) est : xe + x1.

A1 et A2 sont des constantes déterminées à partir des conditions initiales.

La période des petites oscillations de M dans le référentiel lié à la tige est :


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