Une navette spatiale de masse m s'approche de la planète Jupiter (centre 0, rayon R = 70000 km, masse M = l,9 10²⁷ kg). Par rapport au référentiel du centre de masse de Jupiter, supposé galiléen, la trajectoire initiale de la navette, loin de la planète, est pratiquement rectiligne, soit x = -Vot, y = b, z= 0 dans un repère (O x y z) convenablement choisi.

En I survient une panne d'alimentation, qui ne pourra être réparée avant deux jours. Cette panne empêche toute manouvre des moteurs-fusées et toute communication radio. Un appareil de bord indique alors aux trois astronautes leur position I (x = 100 R, y = b = 1, 57 R), et leur vitesse V₀ = 50 km/s. Les astronautes rassemblent leurs souvenirs du DEUG et font un petit calcul pour connaître leur trajectoire. Effrayés du résultat, ils décident de lancer un message de détresse dans une "bouteille" qu'ils lanceront dans l'espace. Le problème du mouvement de la navette (inerte) est un problème à deux corps tout à fait analogue à celui de l'expérience de Rutherford. La trajectoire est une branche d'hyperbole de foyer 0, dans le plan xOy, et b s'appelle le paramètre d'impact. La seule différence est qu'il s'agit ici d'une interaction attractive. Si la navette ne percute pas Jupiter, soit H sa position la plus proche du centre OH = h > R.

1. Il y a deux constantes du mouvement : l'énergie mécanique E du système ( planète + navette ) et la quantité C = produit vectoriel des vecteurs r et v où le vecteur r égal au vecteur OM et le vecteur v le rayon vecteur et la vitesse de la navette dans une position M quelconque.
   - Après avoir montré que la vitesse V en H est normale au rayon vecteur OH, exprimer E et C aux points I et H. En déduire deux équations qui permettent de déterminer V et r en fonction de b et Vo.
   -Calculer h en fonction de b et de vo; on pourra introduire la longueur r₀ = GM/(V₀²).
   -Application numérique : justifier l'inquiétude des astronautes.
2. Comme les astronautes ne sont pas d'accord sur la démarche à suivre pour lancer un S.O.S, chacun d'eux écrit un message et largue une bouteille dans l'espace. Le premier place simplement une bouteille B₁, à l'extérieur de la cabine sans lui communiquer de vitesse. Le second lance sa bouteille B₂ dans la direction Oy normalement à la trajectoire, avec une vitesse (par rapport à la navette) V₂ = 10 m/s. Le troisième préfère lancer une bouteille B₃ vers l'arrière (direction Ox) en lui communicant une vitesse V₃ = 10 m/s. Près de deux jours plus tard, la navette frôle tout juste l'atmosphère de Jupiter.
   - Que sont devenues les trois bouteilles ? Donner d'abord une réponse qualitative. Pour une discussion plus quantitative, on admettra que les variations de h résultant d'une petite variation D Vo de la vitesse en I ou d'une petite variation D b du paramètre d'impact sont données par les expressions : D h = (2*r₀*h / (V₀*(h+r₀)))*D Vo et D h = (b/(V₀*(h+r₀)))*D b.